ملتقى الفيزيائيين العرب - عرض مشاركة واحدة

تغريـد · #32 17-04-2010, 17:09

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة الصادق

الان نريد ان نحسب قيمة احتمال ان تتخذ الحالة الذاتية ابساي حالة لف مغزلي الى الاعلى او الى الاسفل فى اتجاه المحور x , ولكن لما كان الاحتمال يساوي مربع سعة الاسقاط, وكان اسقاط المتجه ابساي فى اتجاه المحور x يُعطى بـ حالة لف مغزلي الى الاعلى او الى الاسفل فى اتجاه المحور
$_x\langle \pm|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & \pm 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos\frac{\theta}{2}\\ \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi} \end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos\frac{\theta}{2}\pm \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi})$
فان مربع سعة الاسقاط يساوي
$\\w(\sigma_x=\pm 1)=|_x\langle \pm|\psi\rangle|^2=|\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos\frac{\theta}{2}\pm \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi})|^2\\ \\ w(\sigma_x=\pm 1)=\frac{1}{2}(\cos\frac{\theta}{2}\pm \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{-i\phi})(\cos\frac{\theta}{2}\pm \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi})\\\\ w(\sigma_x=\pm 1)=\frac{1}{2}(\cos^2\frac{\theta}{2}+\sin^2\frac{\theta}{2}\pm cos\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}(\rm e^{i\phi}+\rm e^{-i\phi}))\\ \\ w(\sigma_x=\pm 1)=\frac{1\pm \sin \theta\cos\phi}{2}$

اما احتمال ان تتخذ الحالة ابساي حالة لف مغزلي الى الاعلى او الى الاسفل فى اتجاه المحور y يُعطى بمربع سعة الاسقاط فى اتجاه y :
$_y\langle \pm i|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & \mp i \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos\frac{\theta}{2}\\ \sin \frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi} \end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos\frac{\theta}{2}\mp i \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi})$
اى ان الوزن المقابل يساوي
$\\w(\sigma_y=\pm 1)=|_y\langle \pm i|\psi\rangle|^2=|\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos\frac{\theta}{2}\mp i \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi})|^2\\ \\ w(\sigma_y=\pm 1)=\frac{1}{2}(\cos\frac{\theta}{2}\pm i \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{-i\phi})(\cos\frac{\theta}{2}\mp i \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi})\\\\ w(\sigma_y=\pm 1)=\frac{1}{2}(\cos^2\frac{\theta}{2}+\sin^2\frac{\theta}{2}\mp i cos\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}(\rm e^{i\phi}-\rm e^{-i\phi}))\\ \\ w(\sigma_y=\pm 1)=\frac{1\pm \sin \theta\sin\phi}{2}$

اخيراً احتمال ان تتخذ الحالة ابساي حالة لف مغزلي الى الاعلى او الى الاسفل فى اتجاه المحور z يُعطى بمربع سعة الاسقاط فى اتجاه z:
$\\ _z\langle +|\psi\rangle=\begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos\frac{\theta}{2}\\ \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi} \end{bmatrix}=\cos\frac{\theta}{2}\\ \\ w(\sigma_z=+1)=|_z\langle +|\psi\rangle|^2=\cos^2\frac{\theta}{2}=\frac{1+\cos \theta}{2}\\ \rm \; and \; \\ _z\langle -|\psi\rangle=\begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos\frac{\theta}{2}\\ \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi} \end{bmatrix}=\sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi} \\\\ w(\sigma_z=-1)=|_z\langle -|\psi\rangle|^2=\sin^2\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos \theta}{2}\\ \\ \rm \, therefore\; \\ \\ w(\sigma_z=\pm 1)=\frac{1\pm\cos \theta}{2}$

أخي الكريم الصادق سأكون شاكرة جدا لو تابعت معي هذا المثال

و أرجو منك أن تصوبني إن أخطأت
الحقيقة أن لي بعض التوقعات البسيطة و لكنها ذات أهمية خاصة بالنسبة لي

بداية فيما يتعلق بحساب الاحتمالات وجدت ببعض الحسابات البسيطة أن حسابها بالطريقة التي أوضحتها في المشاركة السابقة مكافئ لحسابها من خلال إيجاد density matrix لكل من متجهي الحالة و ضربهما ثم حساب trace للمصفوفة الناشئة

و عليه حاولت تفسير العبارة التالية في أحد الأبحاث

For example, Let A and B be Bolarizing filters in planes perpendicular to the paricle beam, where A polarizes vertically and B at 45 angle. If the incoming beam is prepared in a state of horizontal polarization, then AoB will transmit no particles, while BoA will transmit particles.

و حاولت تفسير ذلك بأن نسبة الجسيمات التي تعبر ربما يعبر عنها الاحتمال
لأنه كان من الواضح في مشاركة لأخي شمس الخواص أن تلك النسبة تتناسب مع مربع دالة جيب التمام و التي تنجم دائما من خلال عملية الضرب القياسي للمتجهات

و كان واضحا من خلال مشاركاتك هنا أيضا أنعملية حساب الاحتمال مرتبط كثيرا بعملية الضرب القياسي

لذا توقعت تفسيرا للعبارة السابقة أن نسبة الجسيمات التي تتأثر بالجهاز ذا الاستقطاب العمودي على اتجاه استقطابها سيكون مرتبط cos الزاوية بينهما لذا ستكون النسبةصفرا و بالتالي لن تعبر الجهاز الثاني أي جسيمات

و لكن إن تأثرت الجسيمات في البداية بالمؤثر الذي يصنع زاوية 45 درجة فإن نسبة الجسيمات التي تستقطب في ذلك الاتجاه ستكون النصف و ستتغير حالة تلك الجسيمات لتصبح مستقطبة في اتجاه جديد
و بالتالي ستنتفي حالة كونه عمودي على اتجاه استقطاب الجهاو الثاني و بالتالي ستعبر أيضا نصف الجسيمات

و على ذلك توقعت أن النسبة الكلية هي ربع الجسيمات

إن صح ذلك فهو إشارة جيدة لما اقوم به
و لكن عندما حاولت ترجمة ذلك رياضيا لم اصل لنفس النتيجة
أرجو ان اعلم إن أمكن مكان الخطأ في استنتاجي