ملتقى الفيزيائيين العرب - عرض مشاركة واحدة

مهند الزهراني · #7 15-05-2010, 16:23

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة الصادق

اذا كان السؤال المطروح هو

لتكن لدينا الدالة $\150dpi \rm f:(0,\infty ) \to (0,\infty )$

تحقق الشرطين التاليين :

$\150dpi \rm(1) \ f(a)=2 \ \rm for\; {\color{red} some} \ positive \ real \ number \ a$

$\150dpi \rm(2) f(x)f(y)+f\left ( \frac{a}{x} \right )f\left ( \frac{a}{y} \right )=4f(xy)$
فأثبت ان الدالة السابقة دالة ثابتة القيمة

فان الحل:
$\120dpi \large \\ \rm f(x)f(y)+f\Big(\frac{a}{x}\Big)f\Big(\frac{a}{y}\Big)=4f(xy)\qquad(1)\\\\ a.\; \;\rm substitue\; x=y=1\; into \;(1)\\ f(1)^2+f(a)^2=4f(1)\Rightarrow \; f(1)^2-4f(1)+4=0\\ \therefore \; \boxed{{\color{red} f(1)=2}}\\\\ b.\;\; \rm \; substitute \; y=1 \; into (1)\\ f(x){\color{red} f(1)}+f\Big(\frac{a}{x}\Big)f(a)=4f(x)\Rightarrow \; 2f(x)+2f\Big(\frac{a}{x}\Big)=4f(x)\\ \therefore \; \boxed{{\color{red} f(x)=f\Big(\frac{a}{x}\Big)}}\qquad(2)$
$\120dpi \large \\c.\;\; \rm \; substitute \; y=\frac{a}{x}\; into \; (1)\\ f(x)f\Big(\frac{a}{x}\Big)+f\Big(\frac{a}{x}\Big)f(x)=4{\color{red} f(1)}\Rightarrow 2f(x)f\Big(\frac{a}{x}\Big)=8\\ \therefore \; \boxed{{\color{red} f(x)f\Big(\frac{a}{x}\Big)=4}}\qquad (3)\\\\ d.\;\; \rm solve \; equations \;(2)\; and \; (3)\\ f(x)^2=4\\ \Rightarrow \; \boxed{{\color{red} f(x)=2}} \therefore \rm \;f \; is\; a\; constant \; function$

هذا و الله اعلم

حل ممتاز جدا ونموذجي ، فقد كان المعطى بالسؤال ان a عدد حقيقي واحد وليس كل الاعداد ،،،