متتابعة غير تقليدية
( 2/ 9 ، 9 ، 2/ 3 ، 3 ، 2 ، 1 ، 0000000)
اذا كان مجموع عدد فردى من تللك الحدود = 283 /3
فما عدد حدودها ؟
المتسلسلة هى متتابعتين هندسيتين :
الأولى : 2 /9 ، 2 /3 ، 2 ، 6 ، 18 ، 45 ، ....
حدها الأول = 2 / 9
الأساس = 3
الثانية : 9 ، 3 ، 1 ، 1 /3 / 1/9 ، ...
حدها الأول = 9
الأساس = 1 /3
نفرض أن عدد الحدود الفردية = 2 ن + 1
فيكون :
عدد الحدود من المتتابعة الأولى = ن + 1
عدد الحدود من المتتابعة الثانية = ن
283 /3 = [ 2 /9 ( 3^{ن + 1} - 1 ) ] / [ 3 - 1 ] + [ 9 ( 1 - (1 /3)^ن) ] / [ 1 - (1 /3) ]
وهى معادلة من الدرجة الثانية فى المتغير 3^ن
وبحلها بالقانون العام ــــ> 3^ن = 243 ، ومنها : ن = 5
فيكون عدد حدود المتسلسلة = 2 ن + 1 = 11 حدا
للتحقق :
عدد حدود المتتابعة الهندسية الأولى = ن + 1 = 6
مجموعها = [ 2 /9 ( 3^6 - 1 ) ] / [ 3 - 1 ] = 728 / 9
عدد حدود المتتابعة الهندسية الثانية = ن = 5
مجموعها = [ 9 ( 1 - ( 1/3)^5 ) ] / [ 1 - ( 1 /3 ) ] = 121 /9
اجمالى المجموع = 728 /9 + 121 /9 = 849 /9 = 283 /3