[أحمد سعد الدين]

أ ب ج مثلث ، فيه أَ ، بَ ، جَ فى تتابع حسابى
اثبت أن :
ظتا(أ/2) ، ظتا(ب/2) ، ظتا(ج/2) فى تتابع حسابى

الاثبات :


أَ ، بَ ، جَ فى تتابع حسابى ــــ> 2 بَ = (أَ + جَ)

من خواص المثلث : أَ/ جاأ = بَ/ جاب = جَ/ جاج

بَ/ جاب = (أَ + جَ)/(جاأ + جاج) = 2 ب/(جاأ + جاج)

2 جاب = (جاأ + جاج) ... ... ... (1)

أ + ب + ج = 180 ــــــــــــ> ب/2 = 90 - (أ + ج)/2

من (1)

4 جا(ب/2).جتا(ب/2) = 2*جا[(أ + ج)/2 ]*جتا[(أ - ج)/2]

2*جا(ب/2)*جتا(ب/2) = جتا(ب/2)*[جتا(أ/2).جتا(ج/2) + جا(أ/2).جا(ج/2)]

2 جا(ب/2) = [جتا(أ/2).جتا(ج/2) + جا(أ/2).جا(ج/2)]

2 جتا[(أ + ج)/2] = [جتا(أ/2).جتا(ج/2) + جا(أ/2).جا(ج/2)]

2*[جتا(أ/2).جتا(ج/2) - جا(أ/2).جا(ج/2)] = [جتا(أ/2).جتا(ج/2) + جا(أ/2).جا(ج/2)]

جتا(أ/2).جتا(ج/2) = 3*جا(أ/2).جا(ج/2)

بالقسمة على جا(أ/2).جا(ج/2) لطرفى المتساوية

ظتا(أ/2).ظتا(ج/2) = 3 ... ... ... (2)

ظتا(ب/2) = ظا[(أ + ج)/2] = [ظا(أ/2) + ظا(ج/2)] ÷ [1 - ظا(أ/2).ظا(ج/2)]

بقسمة الطرف الأيسر على (ظا(أ/2).ظا(ج/2)) بسطا ومقاما

ظتا(ب/2) = [ظتا(أ/2) + ظتا(ج/2)] ÷ [ظتا(أ/2).ظتا(ج/2) - 1]

بالتعويض من المعادلة (2)

ظتا(ب/2) = [ظتا(أ/2) + ظتا(ج/2)] ÷ 2

2*ظتا(ب/2) = ظتا(أ/2) + ظتا(ج/2)

إذن :

ظتا(أ/2) ، ظتا(ب/2) ، ظتا(ج/2) فى تتابع حسابى