ملتقى الفيزيائيين العرب - عرض مشاركة واحدة

مهند الزهراني · #31 08-07-2010, 22:34

المتتابعة الثانية حدها النوني هو $\150dpi \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}$ وبالتالي

$\150dpi \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}=\frac{A}{n^2}+\frac{B}{(n+1)^2}$

الان بجمع الكسور المقام = المقام ومنه البسط = البسط اذا

$\150dpi 2n+1=A(n+1)^2+Bn^2\Leftrightarrow 2n+1=(A+B)n^2+(2A)n+A \ \ \ \ \ \Leftrightarrow A=1,B=-1$

ومنه

$\150dpi \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}=\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}=\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n^2}-\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^2}$

$\150dpi \sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n^2}-\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^2}=\left ( 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+... \right )-\left ( \frac{1}{4}+\frac{1}{9}+... \right )=1$