[فرووحة]

كثيرات الحدود والعمليات عليها ..
كثيرة الحدود هي عبارة عن : عبارة رياضية ناتجة من جمع حديين جبريين غير متشابهين أو أكثر فمثلاُ العبارات :
5 س + 4 // 3 س^2 + 4 س + 1 // 4س^3 -3س^2+5س+12 << سنستخدمها في شرحنا التالي
هي كثيرات حدود من الدرجة الأولى والثانية والثالثة على الترتيب ..
ويمكننا القيام بجميع العمليات من جمع وطرح وضرب وقسمة كثيرات الحدود على حد جبري ..
ولو تأملنا كثيرة الحدود 4س^3 -3س^2+5س+12 سنلاحظ أنه عند التعويض عن المتغير س بأي عدد حقيقي نحصل على قيمة حقيقية وحيدة مناظرة لكثيرة الحدود >> فلنعوض بالصفر أي عندما تكون س = 0 فستكون القيمة العديية لكثيرة الحدود = 12 وهذا يعني أن كثيرة الحدود هذه تعين دالة مجالها ح ومجالها المقابل ح << مجموعة الأعداد الحقيقية فيكون تعريفها // تسمى الدالة د : ح > ح التي قاعدتها د(س) = أن س ^ن + أن-1س^ن-1 +..., بحيث أن تنتمي ل ح وأن لا تساوي الصفر ون عدد صحيح غير سالب فتكون دالة كثيرة الحدود في المتغير س من الدرجة ن
من التعريف نجد أن كثيرة الحدود لابد أن تحقق شرطاً وهو أن لا يكون المتغير في مقام كسر ( أس سالب ) أو تحت جذر ( أس نسبي ) ونسمي أن بمعامل س ن // كما في الأمثلة السابقة تكون 4 معامل س ^3 ويسمى أن بالمعامل الرئيسي << لأنه معامل أكبر أس ولا يكون صفرا ُأبدا ًلأنه لو كان صفر للذهب المتغير ولغيت الدرجة معه << فعندها لن تكون هي أكبر درجة ^^ أي أن المعامل الرئيسي في الأمثلة السابقة هو : 5 و3 و4 على الترتيب " وهنا ملاحظة لبقية الحدود التي درجتها صفراً فإن معاملاتها تلغى ولا تكتب" ,, وأ0 هو الحد الثابت ونعدهـ معاملاً لـ س ^0 << لعلك عرفت السبب >> وهو لأن س ^0 = 1 فلا تكتب وأيضاً سيكون الحد الثابت للأمثلة المذكورة مسبقًا هو : 4 , 1 , 12 على الترتيب
وبذلك نجد أن عدد معاملات كثيرة الحدود من الدرجة ن هو ن+1 >> مثلاُ : كثيرة حدود من الدرجة الرابعة سيكون عدد معاملاتها 4+1 = 5 << لوجود الحد الثابت
وتسمى كثيرة الحدود من الدرجة صفر بأنها كثيرة حدود ثابتة لأنها لا تحتوي إلا على حد ثابت << بشرط أن لايكون المعامل يساوي الصفر أيضاً أما إذا كان المعامل = الصفر فعندها تسمى بكثيرة الحدود الصفرية وإذا كان المعامل = 1 فعندها تسمى بكثيرة الحدود الواحدية (( الآن تعرفنا على 3 أنواع من كثيرات الحدود الثابتة , والصفرية , والواحدية جميعها من الدرجة صفر ولكن باختلاف المعامل ))
الآن نستيطع كتابة كثيرة الحدود بمدوليلة معاملاتها ولك هذا المثال :
أ4 = 2 , أ3 = 6 , أ2 = 0 , أ1 = -2 , أ0 = 4 ,, وهنا نعني بـ أ4 أي أنه معامل الدرجة الرابعة " س^4 " وهو يساوي 2 ,, وأ3 بأنه معامل الدرجة الثالثة "س^3" ويساوي 6 وأ2 هو معامل الدرجة الثانية "س^2 " ويساوي الصفر << إذاً لن تكتب ,, وكهذا وأن أ0 هو معامل الدرجة الصفرية << أي أنه الحد الثابت ويساوي 4
الآن نكتب كثيرة الحدود التي كانت هذه عواملها هي ..
2س^4+6س^3-2س+4 << لاحظ أن كثيرة الحدود هذه خالية من الدرجة الثانية وذلك لأننا ذكرنا بأن معاملها يساوي الصفر وأننا رتبنا كثيرة الحدود بحسب ترتيب الدرجة بالأكبر والحد الثابت في الآخر وهذا غير مهم ولكن أنظم
ويمكننا تحديد درجة كثيرة الحدود بمعرفة أكبر درجة متغير فيها فكثيرة الحدود السابقة هي من الدرجة الرابعة لأن أكبر درجة متغير هو من الدرجة الرابعة وسيكون المعامل الرئيسي هو معامل أكبر درجة وقيمته هنا = 2
تساوي كثيرات الحدود : بالمختصر كثيرة الحدود لا تساوي إلا نفسها أي أنه لتساوي كثيرتي حدود يجب أن يكونا من نفس الدرجة وأن المعاملات المتناظرة فيها متساوية ( أي معامل الدرجة الثالثة مثلاُ يجب أن يساوي معامل الدرجة الثالثة في كثيرة الحدود الأخرى ) ومن تساوي كثيرات الحدود يمكننا إيجاد مجاهيل كثيرة حدود مساوية لكثيرة حدود أخرى بمعلومية عواملها
مثال : إذا كانت س^3 + أس^2 = س^3 + 5س^2 فما قيمة أ >> من تساوي كثيرات الحدود ستكون قيمة أ هي قيمة معامل الدرجة الثانية في كثيرة الحدود الآخرى ( أس^2 = 5س^2 ) أي أن أ = 5 << كان هذا مثال بسيط جداً ومن اختراعي ^^
بعض العمليات على كثيرات الحدود :
ضرب كثيرة حدود بعدد حقيقي : عند ضرب كثيرة حدود بعدد حقيقي وليكن 4 فإننا نضرب جميع درجات كثيرة الحدود بهذا العدد مثلا لو كانت كثيرة حدود من الدرجة الثانية فإننا سنضرب معامل س^ بـ4 ومعامل س بـ4 والحد الثابت أيضاً بـ4 وهكذا ..
جمع كثيرات الحدود : عند جمع كثيرتي حدود فإننا نجمع معامل كل درجة بنظيره في كثيرة الحدود الأخرى وإذا كانت كثيرة حدود من الدرجة الثالثة مثلاً جمعت مع كثيرة حدود من الدرجة الثانية << هذا يعني أنها خالية من س^3 فعندها تنزل قيمة معامل س^3 كما هي وتجمع بقية العوامل
مثال : اجمع كثيرتي الحدود التالية : س^2 -2س+1 // -3س^3+2س^2+س+2
نجمع كل معامل درجة معينة بنظيره فيكون الناتج = -3س^3 +3س^2+3
طرح كثيرات الحدود : سيكون بنفس فكرة الجمع ولكن مع مراعاة الإشارات ..
عند الجمع أو الطرح تكون درجة كثيرة الحدود الناتجة من هاتين العملتين هي درجة كثيرة الحدود الأكبر مثلاُ لو جمعت كثيرة حدود من الدرجة الرابعة مع كثيرة حدود من الدرجة الثالثة فإن الناتج هو كثيرة حدود من الدرجة الأكبر وهي الرابعة وإن كان لهما نفس الدرجة فسكون الناتج من نفس الدرجة أيضاً إذا كان حاصل جمع المعامل الرئيسي لا ياساوي الصفر أما إذا ساوى الصفر فستكون من الدرجة الأقل
خواص عملية جمع كثيرة الحدود : إبدالية , تجميعية , كثيرة الحدود الصفرية هي العنصر المحايد , والمعكوس الجمعي لكثيرة الحدود هو بتغيير إشارات جميع حدودها
ضرب كثيرات الحدود : لو ضربنا كثيرة حدود من الدرجة الثانية مع كثيرة حدود من الدرجة الثالثة
فإننا نضرب الحد الأول بالحد الأول والحد الأول بالحد الثاني والحد الأول بالحد الثالث وهكذا الحد الثاني بالحد الأول والحد الثاني بالحد ثالني والحد الثالث بالحد الثالث << أتمنى أن الفكرة واضحة >> ما أستطيع توضيحها بالكتابة الآن
ملاحظات في ضرب كثيرات الحدود : حاصل ضرب أي كثيرة حدود بكثيرة حدود صفرية سيكون الناتج هو كثيرة حدود صفرية
بعد إجراء عملية الضرب فإننا نجمع الحدود المتشابه لنحصل على كثيرة حدود في أبسط صورها
عند ضرب كثيرة حدود بأخرى فإن حاصل ضربهما ستكون كثيرة حدود من الدرجة ( ن+م ) << حاصل جمع درجتيهما أي حاصل جمع درجة كثيرة الحدود الأولى + درجة كثيرة الحدود الثانية ( مثلاُ كثيرتي حدود من الدرجة 4 و5 حاصل ضربهم هو كثيرة حدود من الدرجة 4+5 = 9 << الدرجة التاسعة )
أما القسمة فسالفتها سالفة ما أقدر أشرحها هنا أحس ماتنفع بالكتابة ,, أتمنى إني وفقت في توصيل أهم الأفكار وهذا كان شرح بسييييييييييييييييييييييييط جداً وسريع أيضاً يعني أبداً ماطولت أو فصلت والأمثلة قليل بس حبيت أوصل أهم الأفكار ولو عندك أي استفسار فنحن حاضرون (=
أكرر أعذرني على شرحي المختتتتتتتتتتتتتتتتتتتتتتتتتصر لكن أهم شي تكون وصلت الأفكار