ملتقى الفيزيائيين العرب - عرض مشاركة واحدة

Weierstrass-Casorati · #**146** 02-08-2010, 22:37

محاولة في سؤال الجبر

$\120dpi \large \begin{array}{lcl} &y^2 = x^2 + x -1\\ & y = \pm \sqrt{x^2 + x -1} \:\:\:\:(1) \end{array}$

$\120dpi \large \begin{array}{lcl} &x(x+1)=y^2 +1\\ &x^2 +x=y^2 +1\\ &4x^2 + 4x = 4y^2 +4 \end{array}$

بإكمال مربع

$\120dpi \large \begin{array}{lcl} &4x^2 + 4x+1 = 4y^2 +5\\ &(2x +1)^2 - 4y^2 = 5 \\ &(2x +1)^2 - (2y)^2 = 5 \\ \end{array}$

الطرف الأيسر فرق بين مربعين والايمن عدد أولي

$\120dpi \large (2x+2y+1)(2x-2y+1)=5$

فيكون هناك اربع احتمالات
الأول
$\120dpi \large \begin{array}{lcl} &(2x+2y+1)=5\\ &(2x-2y+1)=1\\ &\Rightarrow 4x+2=6\Rightarrow 4x=4\Rightarrow x=1\\ &from\: (1)\\ & y = \pm1\\ \end{array}$

والثاني
$\120dpi \large \begin{array}{lcl} &(2x+2y+1)=-5\\ &(2x-2y+1)=-1\\ &\Rightarrow 4x+2=-6\Rightarrow 4x=-8\Rightarrow x=-2\\ & y = \pm1\\ \end{array}$

والاحتمالين الثالث والرابع يعطيان نفس الحلول
$\120dpi \large \begin{array}{lcl} &(2x+2y+1)=1\\ &(2x-2y+1)=5\\ &\Rightarrow x=1\Rightarrow y = \pm1\\ &(2x+2y+1)=-1\\ &(2x-2y+1)=-5\\ &\Rightarrow x=-2\Rightarrow y = \pm1\\ \end{array}$

فتكون الازواج المرتبة الصحيحة التي تحقق المعادلة هي
$\120dpi \large (1,1),(1,-1),(-2,1)(2,-1)$