ملتقى الفيزيائيين العرب - عرض مشاركة واحدة

Weierstrass-Casorati · #4 07-08-2010, 12:33

عليكم السلام ورحمة الله وبركاته
الحمد لله على السلامة
واضح أن الجو هناك كان رائع
وبعدين راجع من أولها متباينات
المتباينة الأخيرة

باستخدام AM-GM

$\120dpi \large \overset{n\; terms}{\overbrace{\frac{2}{2+a_1}+\frac{2}{2+a_2}+....+\frac{2}{2+a_n}}}\geq \frac{2n}{\sqrt[n]{(2+a_1)(2+a_2)....(2+a_n)}}$

$\120dpi \large \frac{a_1}{2+a_1}+\frac{a_2}{2+a_2}+....+\frac{a_n}{2+a_n}\geq \frac{n\sqrt[n]{a_1\,a_2\,...\,a_n}}{\sqrt[n]{(2+a_1)(2+a_2)....(2+a_n)}}$

بالجمع

$\120dpi \large n\geq \frac{n(2+\sqrt[n]{a_1\,a_2\,...\,a_n})}{\sqrt[n]{(2+a_1)(2+a_2)....(2+a_n)}}$

$\120dpi \large \sqrt[n]{(2+a_1)(2+a_2)....(2+a_n)}\geq (2+\sqrt[n]{a_1\,a_2\,...\,a_n})$

برفع الطرفين للأس n

$\120dpi \large (2+a_1)(2+a_2)....(2+a_n)\geq (2+\sqrt[n]{a_1\,a_2\,...\,a_n})^n$

وبالتالي

$\120dpi \large \prod_{k=1}^{n}(2+a_k)\geq 3^n$