ملتقى الفيزيائيين العرب - عرض مشاركة واحدة

Weierstrass-Casorati · #10 09-08-2010, 18:38

المتباينة الأولى
من AM-GM
$\120dpi a^4 +1\geq 2a^2,\,\,\,b^4 +1\geq 2b^2,\,\,\,c^4 +1\geq 2c^2$

$\120dpi \therefore \frac{a^4 +1}{a+b}+\frac{b^4 +1}{b+c}+\frac{c^4 +1}{c+a}\geq 2\left ( \frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a} \right )$

بتطبيق كوشي-شوارتز على
$\120dpi (\sqrt{a+b},\sqrt{b+c},\sqrt{c+a}),(\frac{a}{\sqrt{a+b}},\frac{b}{\sqrt{b+c}},\frac{c}{\sqrt{c+a}})$

$\120dpi 2(a+b+c)\left ( \frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a} \right )\geq (a+b+c)^2$

$\120dpi 2\left ( \frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a} \right )\geq a+b+c$

$\120dpi \therefore \frac{a^4 +1}{a+b}+\frac{b^4 +1}{b+c}+\frac{c^4 +1}{c+a}\geq a+b+c$