ملتقى الفيزيائيين العرب - عرض مشاركة واحدة

مهند الزهراني · #1 18-08-2010, 18:23

بسم الله الرحمن الرحيم ...

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته ...

ربما جوع ما قبل الافطار اوقد بذهني فكرة هذا الموضوع :laughter01:

عموما ما يعرف بتمهيدية تيتو او حقيقة تيتو $\150dpi T_2 \ \textrm{Lemma}$ ليست سوى شكل آخر عملي جدا من متباينة كوشي - شوارتز ، ويعود الفضل لتيتو في ابراز أهمية تلك المتباينة وهذا في كتابه $\150dpi Mathematicl \ Olympiad \ Treasures$ ، علما بأن هذا المسمى لم يكن موجودا بالكتب القديمة...

.................................................. .....................................

رياضيا ، متباينة كوشي - بنجاكوفسكي - شوارتز هي تنص على أنه للأعداد الحقيقة $\150dpi a_1,a_2,...,a_n \ \ \ \ b_1,b_2,...,b_n$ فان المتباينة التالية متحققة دائما

$\150dpi \left ( a_1^2+a_2^2+...+a_n^2\right )\left ( b_1^2+b_2^2+...+b_n^2 \right )\geq \left ( a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n \right )^2$

الآن لنختر التعويض التالي

$\150dpi a_i=\frac{x_i}{y_i},b_i=y_i$

ومنه تصبح المتباينة

$\150dpi \left ( \frac{x_1^2}{y_1^2}+\frac{x_2^2}{y_2^2}+...+\frac{x_n^2}{y_n^2} \right )\left ( y_1^2+y_2^2+...+y_n^2 \right )\geq \left ( x_1+x_2+...+x_n \right )^2$

وبقسمة الطرفين على $\150dpi y_1^2+y_2^2+...+y_n^2$ لا تتغير اشارة المتباينة لأن المقدار موجب وبالتالي تصبح المتباينة

$\150dpi \left ( \frac{x_1^2}{y_1^2}+\frac{x_2^2}{y_2^2}+...+\frac{x_n^2}{y_n^2} \right )\geq \frac{\left ( x_1+x_2+...+x_n \right )^2}{y_1^2+y_2^2+...+y_n^2} \ \left ( T_2 \ \textrm{Lemma}\right )$

وهي الصورة النهائية لحقيقة تيتو ...

مع مراعاة أنه يشترط ان تكون الاعداد بالمقام موجبة ...

وربما نلتقي مرة أخرى مع تمارين على الموضوع ...

ودمتم ،،،