ملتقى الفيزيائيين العرب - عرض مشاركة واحدة

Weierstrass-Casorati · #6 08-09-2010, 19:42

صراحة أنا لم أفهم طريقتك أخي لا أعرف شيئ
ولكن هذه محاولتي وأتمنى أن أرى رأيك

نريد حساب مساحة القطاع OQR (ولتكن A)
مساحته تساوي مساحة المنطقة OPQR (ولتكن A1) – مساحة المثلث OPQ الذي تساوي مساحته مساحة المثلث الأصفر (ولتكن A2)
$\120dpi \large A=A_1 - A_2$

ومساحة المثلث تساوي نصف طول القاعدة في الإرتفاع
$\120dpi \large A=A_1 - \frac{1}{2}r^2 \cos(\theta )\sin(\theta )\; \; \; \;\; \; \; \; (1)$

والآن ندع هذه المعادلة جانباً حتى نحسب A1
انت تعرف أننا يمكننا استخدام التكامل المحدود لحساب المساحات المستوية المحدودة بمنحنى ومحور ومستقيمين
في حالتنا هذه المساحة A1 محدودة بالمنحنى $\120dpi \large x=\sqrt{r^2 - y^2}$ والمحور $\120dpi \large y$ والمستقيمين الأفقيين $\120dpi \large y=0$ و $\120dpi \large y=r \sin(\theta)$

فيمكن حساب مساحته بإجراء التكامل التالي: [cc=نبدأ أولا بالتكامل بالتعويض]بالتكامل بالتعويض(ملحوظة سوف أنسى حدود التكامل الآن حتى أنتهي وعند اجراء التكامل المحدود نتخلص من الثابت)
$\120dpi \large y=r \sin(u)$

$\120dpi \large dy=r \cos(u)\; du$

$\120dpi \large \sqrt{r^2 - y^2} =\sqrt{r^2 - r^2 \sin^2(u)}= r\cos(u)$

حيث $\120dpi \large u=\sin^{-1}\left (\frac{y}{r} \right )$

$\120dpi \large \\ \cos(2u)=-1+2cos^2(u)\Leftrightarrow \cos^2(u)=\frac{1}{2}\cos(2u)+\frac{1}{2}\\ \int\sqrt{r^2 - y^2}\; dy=r^2 \int cos^2(u)\; du\\ =r^2 \int (\frac{1}{2}\cos(2u)+\frac{1}{2}) du\\ =r^2\int \frac{1}{2} du+\frac{r^2}{2} \int \cos(2 u) du$

وبتعويض آخر $\120dpi \large t=2u\Rightarrow du=\frac{1}{2}dt$

يصبح التكامل كالتالي:

$\120dpi \large \\ =\frac{r^2}{4} \int \cos(t) dt +r^2\int \frac{1}{2} du\\ =\frac{1}{4}r^2 \sin(t)+\frac{r^2u}{2}+c\\ \\ =\frac{1}{4}r^2 \sin(2\sin^{-1}\left ( \frac{y}{r} \right ))+\frac{1}{2}r^2 \sin^{-1}\left ( \frac{y}{r} \right )+c\\ \\ =\frac{1}{2}r\; y \cos\left ( sin^{-1}\left ( \frac{y}{r} \right ) \right )+\frac{1}{2}r^2 \sin^{-1}\left ( \frac{y}{r} \right )+c\\ \\ =\frac{1}{2}r\; y \sqrt{1-\frac{y^2}{r^2}}+\frac{1}{2}r^2 \sin^{-1}\left ( \frac{y}{r} \right )+c\\ \\ =\frac{1}{2}\; y \sqrt{r^2-y^2}+\frac{1}{2}r^2 \sin^{-1}\left ( \frac{y}{r} \right )+c\\$

ثم نستخدم ما وصلنا إليه في تكاملنا الأصلي[/cc]

$\120dpi \large \\ A_1=\int_{0}^{r \sin(\theta )}\sqrt{r^2 - y^2} \; dy\\ =\left [ \frac{1}{2}y\sqrt{r^2 - y^2}+\frac{1}{2}r^2 \sin^{-1}\left ( \frac{y}{r} \right ) \right ]_{0}^{r \sin(\theta )}\\ \\ =\frac{1}{2}r \sin{(\theta) }\sqrt{r^2(1-\sin^2(\theta))}+\frac{1}{2}r^2 \theta\\ \\ =\frac{1}{2}r^2 \sin(\theta)\cos(\theta)+\frac{1}{2}r^2 \theta\\$

وبالتعويض في المعادلة (1) نجد أن

$\120dpi \large \\ A=\frac{1}{2}r^2 \sin(\theta)\cos(\theta)+\frac{1}{2}r^2 \theta -\frac{1}{2}r^2 \sin(\theta)\cos(\theta)\\ \\ =\frac{1}{2}r^2 \theta$

واعتذر على الإطالة