ملتقى الفيزيائيين العرب - عرض مشاركة واحدة

Weierstrass-Casorati · #4 13-09-2010, 19:34

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مهند الزهراني

اذا علمت أن $\150dpi abc=1$ فأثبت أن

$\150dpi \frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq \frac{3}{2}$

مر على أنا كمان وقريب جدا لكن ما أذكر فين
واللي حله استخدم متباينة الوسط الهندسي-الوسط التوافقي
لكن هذا حلي بمتباينة اعادة الترتيب وأظنه أسهل
باستخدام التعويضات
$\\ x=\frac{1}{a},\; y=\frac{1}{b},\;z=\frac{1}{c}\\ \\ S=\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\\ \\ =\frac{x^3}{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}+\frac{y^3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{z}}+\frac{z^3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}\\ \\ =\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\\ \\ \\$

بدون فقد للعمومية نفرض أن
$\\ a\geq b\geq c\\ \Rightarrow z\geq y\geq x \\ \Rightarrow z+y\geq z+x\geq y+x\\ \Rightarrow \frac{z}{x+y}\geq \frac{y}{z+x}\geq\frac{x}{z+y}$

بتطبيق متباينة إعادة الترتيب على التتابع $\left (\frac{x}{x+y}, \frac{y}{z+x},\frac{z}{z+y} \right )$ و $(x,y,z)$
باعتبار التبديلة $(y,z,x)$ و $(z,x,y)$

$\\ S=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{z+y}\geq \frac{xy}{z+y}+\frac{yz}{z+x}+\frac{zx}{x+y}\\ \\ S=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{z+y}\geq \frac{xz}{z+y}+\frac{yx}{z+x}+\frac{zy}{x+y}\\$

بالجمع
$\\ 2S\geq \frac{x(z+y)}{z+y}+\frac{y(z+x)}{z+x}+\frac{z(x+y)}{x+y}=x+y+z\\$

ومن $AM-GM$
$\\2S \geq 3\sqrt[3]{xyz}=3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=3\\ \therefore S\geq \frac{3}{2}$

وهو المطلوب

صحيح مهند ناوي تكمل المسابقة هذه في الدراسة وإلا لا ؟
والله مرت الأجازة بسرعة صاروخية

وبالمناسبة السؤال لأهل العلم "أهل الأحساء" شو جمع تنحيزة، دلع بنوتة، يعني تنجمع جمع سالم وإلا تكسير؟

وأختي نورة مبروك عليك المتباينة الجميلة