السلام عليكم ورحمة الله وبركاته .
فى الحقيقة سؤال جميل جدا جدا ً ....... بارك الله فيك أخي "لا أعرف شيئ"
فى الحقيقة هذه أول مرة أفكر فى هذه المسألة ، ولذلك قضيت وقتا ممتعا ً جدا ً فى محاولة برهنتها وتوصلت إلى فكرة ، سأعرضها عليكم :
فى فضاء إقيليدي ديكارتي ثنائي الأبعاد
، حيث
هى مجموعة الأعداد الحقيقة ، يوجد مستطيل أبعاده هي
حيث
(المستطيل الأحمر)
ومساحة المستطيل الأحمر
هي :
)
بتطبيق دوران دائري بزاوية 90 درجة على
المستطيل الأحمر حول مركزه ، ينتج مستطيل آخر أبعاده
حيث
(المستطيل الأزرق)
وبما أن المساحة لا تتعير مع الدوران ، فإن مساحة المستطيل الأزرق هي أيضا ًُ
حيث :
)
من 1 و 2 إذن :
ويمكن إثبات أن :
وبالتعويض فى المعادلة السابقة ، إذن :
