ملتقى الفيزيائيين العرب - عرض مشاركة واحدة

زولديك · #1 23-09-2010, 23:08

بسم الله الرحمن الرحيم

الحمد لله و كفى و الصلاة و السلام على الرسول المصطفى و على آله و صحبه الأبرار و من أقتفى إلى يوم الدين , أما بعد:

كلنا يعلم اهمية علم التفاضل و التكامل في الفيزياء النظرية بل في كثير من العلوم , بل لا يكاد يخلو طالب علم من معلومات عنه و لكن مع الأسف , نجد في أكثر مناهجنا العربية طرق شرح باهتة المنظر ليس فيها أي نوع من العمق و بالتالي, عدم فهم أساسياته , فقد قرات في أحد المننديات , طالبة تقول , لقد تعلمت درس النهايات و قد انتهيت منه , ولكن لا اعرف معنى لها , و ما فائدتها , و ما تطبيقاتها , و تقول تعقيبا , اني لما سألت مدرستي , عن فوائد النهايات قالت الأستاذة بكل بساطة "النهايات بحر طويل , أبحثي في النت" , (شكلها تورطت الأستاذة

) , فقالت بحت فلم اجد شيئا , و هناك الكثير و الكثير من المعاناه , و من ابسط الأمثلة انا أيضا صاحب هذا الموضوع ., فأنا في كل مرة ادرس موضوع , أسئل نفس سؤال , ألا و هو , ما المشاكل التي ادت إلى انتاج هذا العلم او المفهوم الذي ادرس ؟ أعتقد أهم سؤال ممكن ان يسئل إلى طريق الفهم العميق ( بل و الفهم التطبيقي من اجل التطبيق) , هذا السؤال , فالنهاية تعتبر المدخل الرئيسي , لإمبراطورية التفاضل و التكامل , و هي من أبرز الافكار التي تميزه عن غيره من باقي فروع الرياضيات مثل الهندسة و الجبر , "و هي شهادة على عبقرية العقل البشر" , هذا والله أسئل ان يوفقني لأشرح هذا المفهوم , و لي اجل ان يستفيد منه كل من يريد ان يتعلم التفاضل و التكامل بفهم عميق , فبسم الله نبدأ :

في القرن السابع عشر تم إعلان زواج "عقل" من "نهاية" وكان صاحب عقد هذا القٍران الفذ السير "إسحق نيوتن" و كان لهذا الخبر الأثر البارز على الإمبراطور "رياضيات" في تغير منهج حياته , و امتداد سلطته و نفوذه ,لا بل و جماله , فقط كان لهذا الإمبراطور الكثير من المشاكل , قد اثرت على حياته سلبا , و من هذي المشاكل , عدم فهمه لبناته "دوال" , و خاصة منها التي تدعى "الكسرية" , اما بالنسبة لنفوذه , فقد اتسعت لتشمل الكثير من الأبناء , الذين كانوا لديهم نوع من التحفظ من الإمبراطور"رياضيات" , مثل أبنته "ميل"التي قد أثارت مشاكل مع ابيها "رياضيات ", عندما تعرفت على الشاب "مماس" , فقط كان الإمبراطور يحبذ , لأبنته ان تكون مع الشاب "منحنى" , و ليس "مماس" , ولكن على حد تعبير "ميل" قالت , لقد مملت مما انا فيه ,محدودة بــ"منحنى" , فانا لا أريد التقيد به "منحنى" و الحصر بل الشمول , و الحرية ,و قد رأيت ان مماس مفيد لي , وتقول أيضا , أيها الإمبراطور"رياضيات" قد اجبرت على ما انا فيه بالتعرف على الشاب "منحنى" , فقد كنت أعمل في كثير من المؤسسات ( الأستاتيكا _الطفو_الهندسة _الديناميكا") , و لكن قد دعيت من قبل مؤسسات تريد مني عملا آخر , و قد أضطررت إلى التعرف على "مماس", ( نكمل مشوارنا مع الزوجان عقل و نهاية ) , بعد تمام هذا الزواج تم إنجاب الإبن البكر "تفاضل" , و من ثم الإبن "تكامل" , وقد كان الزوجان , سعيدان بإبنيهما , و قد كانا يرقبان أبنيهما , لحظة بلحظة , و يوما بيوما , يكبران على أيدي عباقرة كبار امثال " لويس لاجرانج _غتفيرد لابنتز_جاوس_ريمان_ليوناردو أويلر_كوشي_بروك تايلور__هنري بوانكاريه_فورييه_سيمون لابلاس_بسل_جاكوبي....و الكثير " , هذا و قد كان الزوجان سعيدان عندما تم ـستدعائهما من قبل العالم ريمان
من أجل أن يعملوا في شركته "الهندسة الريمانية",و العالم جاوس في شركته "الهندسة التفاضلية" و قد آلت سعادتهما إلى ما لانهاية , عندما , طلبهما مع الهندسة الريمانية , العبقري الكبير "ألبرت أينشتاين" ليعملا تحت لواء النسبية العامة ,ليكونا لبنة لبناء في بلورة فكرة إنحناء الزمكان في النسبية العامة " و أيضا كان لهما الدور البارز في البناء الرياضياتي للنظرية العظيمة( العظمة لله) , "ميكانيكا الكم", ( ميكانيكا الكم و ما ادراك ما ميكانيكا الكم , يقول نيلز بور عنها ...من درس ميكانيكا الكم و لم يصعق , فلم يفهمها...)., هذا و التقدم في الأخوان تفاضل و تكامل ما زال قائما , و في كل عصر يدعوا من قبل شركات عملاقة للعمل لديها ,( الفيزياء النظرية _الأقتصاد_الكيمياء....), و مع هذا تقدمها في مجالات العلوم لا ينفكان عن طلب المساعدة من امهم "نهاية" فلا ننسى ان الفضل"بعد الله"لأمهما نهاية" و مع بعض الأحيان يكون تكامل مريضا ( و مرضه انه معتل و لهذا المرض طريقان 1-إما أن يكون عبر حدود التكامل 2- او يكون بسبب الدالة فقد تؤال إلى قيم لانهائية بسبب تعريفها على مجال الدالة المراد مكاملتها _و قد فصلت في هذا لمن يريد مراجعته و هو في مواضيعي) , فيضطر آنذاك ان يستعين بأمه "نهاية" ليستطيع حساب الدالة المكاملة . مع ما تقدم من كلام لعلنا ادركنا أهمية الأخت نهاية , لذا نبدا بالشرح عنها فبسم الله :

و حيث ان فكرة النهاية استوحت من افكار فيزيائية و نبدا بمثل فيزيائي

النهاية فيزيائيا

لنفترض ان عالم فيزيقي , يريد قياس كمية معينة عندما يكون ضغط الهواء مساويا للصفر , و حين انه مستحيل "تكنولوجيا" ان نصل للفراغ التام , فإن الطريق الطبيعي هو قياس هده الكمية عندما يتقارب ضغط الهواء من الصفر , فإدا كانت تلك القياسات تقترب
من قيمة معينة , لتكن L عندما يتقارب ضغط الهواء من الصفر و المتمثل بالكائن x , فإننا نقول إن قيمة القياس عند "الفراغ التام" يساوي L . و نرمز لهدا التعبير الرياضي بالشكل التالي $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=L$
لاحظ ان قيمة الضغط , لم تساوي الصفر و لكن كانت قريبة منه و بالمقابل كانت الــ $f(x)$ , هي الاخرى قريبة من الــ L , لك لم تساويها , "هدا ما كان يقوله(الجملة الاخيرة حول التقارب) الفد الكبير اوجستين كوشي في القرن التاسع عشر " لكي يوضح معنى النهاية .لكن مع دلك لم يكن كافي للبلورة الرياضية لفكرة النهاية , لنرى الرياضي الألماني "كارل فيرشتراس"مادا كان يقول عن النهاية .

مثال رياضي

ليكن لدينا الدالة التالية $f(x)=1/x$ , هب اني اريد ان اعرف قيمة الدالة و عندما يكون x مساويا للصفر . لكن هدا غير ممكن
لأنه أي رقم سيدخل , سيناقض تعريف القسمة , حسنا ما الحل ؟ , لاحظ ان عدم تعريف الدالة عند x تساوي الصفر و يكافئ المثال الفيزيائي السابق , فعدم تعريف الضغط , يشابه عدم تعريف لدالة عندما x=0 لدلك نطبق ما فعلنا في المثال الفيزيائي , و ندرس قيم الدالة $f(x)=1/x$ , عندما تتقارب x من الصفر , لاحظ مع التالي

$f(x)=1/x\Leftrightarrow x=0.1\Rightarrow f(x)=10$
$f(x)=1/x\Leftrightarrow x=0.01\Rightarrow f(x)=100$
$f(x)=1/x\Leftrightarrow x=0.001\Rightarrow f(x)=1000$
و هكدا نرى انه كلما صغرت x كلما كبرت قيمة الدالة بغير حدود , و نلاحظ ايضا انه نستطيع جعل الــ
$f(x)=1/x$
اكبر من اي رقم نريد و دلك بجعل x قريبة من الصفر قربا كافيا , بمعنى آخر أستطيع ان اجعل قيم الدالة
$f(x)=1/x$
اكبر من رقم معين و دلك بجعل x تتغير على نطاق و معين بنصف قطر معلوم . و هدا ما اكد الفد كارل فيرشتراس و من ثم أعطى تعريف النهاية على أساس الــ $\varepsilon -\delta$ و هو التعريف المعتمد عالميا .اوجستين لوي كوشي

ايضا من الامور التي يستعمل فيها فكرة النهاية(Limit) , مسالة إيجاد ميل المماس لمنحنى .

ميل المماس لمنحنى

نعلم انه إدا قطع مستقيم منحنى في نقطتين هما $(a,f(a))$ و $(x,f(x))$ فإن ميل هدا المستقيم هو :

$m(a,x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a$ , لاحظ مع اقتراب x من a فإن المستقيم يصبح قريب من النقطة a , و هكدا حتى يصبح المستقيم مماس لمنحنى الدالة $f(x)$ عند النقطة a , لاحظ $\Leftarrow$

هل تاثر النهاية فيزيائيا على المعادلة التي تؤثر عليها رياضيا إن امكن التأثير ؟
الجواب لا

و إليك المثال التالي
لتكن الدالة $f(t)$ , و هي تصف تغير موقع الجسيم m , فإدا طلب إيجاد متوسط السرعة خلال الفترة الزمنية (t-a) , بالتالي يكون لدينا التعبير الرياضي التالي $u=\frac{f(t)-f(a)}{t-a}$ , لاحظ انه إدا اخدنا النهاية عندما تؤول t إلى a يكون لدينا التالي
$\lim_{t\rightarrow a}\frac{f(t)-f(a)}{t-a}$ , لاحظ ان هدا التعبير يعطي السرعة اللحظية و التعبير السابق يعطي السرعة المتوسطة خلال الفترة الزمنية (t-a) , و في كلا الحالتين النتيجة النائية هي السرعة و و هدا قصدي في عدم التاثير , بتجريد اكثر لا تؤثر النهاية على خارج القسمة , و هده المعلومة مفيدة في الفيزياء.

تقنيات إيجاد النهاية

هناك نوعان من التقنيات , بدائية و متطورة"إن جاز التعبير" , و جميعها تستخدم في إيجاد النهاية المنشود حلها و إليك التالي
أشهر التقنيات البدائية
1-تعريف كوشي فيرشتراس
و ينص على التالي "يقال ان نهاية الدالة $f(x)$ تساوي A و دلك عندما تسعى x إلى a إدا تحقق الشرط التالي $0<\left | x-a \right |<\delta \Rightarrow \left | f(x)-A \right |<\varepsilon$ "
اي كما قال كوشي استطيع ان اجعل الدالة $f(x)$ قريبة جدا من A و دلك باخد x قريبة قربا كافيا , "لاحظ مسالة التحكم في البعد بين الدالة و النهاية التي تسعى إليها"

مثال
اوجد النهاية التالية $\lim_{x\rightarrow 1}x$
الحل : حدسا هي تؤول إلى الوحدة "unit" بالتالي L=1 و الــ $f(x)=x$
يعني $0<\left | x-a \right |<\delta \Rightarrow \left | f(x)-A \right |<\varepsilon \Rightarrow 0<\left | x-1 \right |<\delta \Rightarrow \left | x-1 \right |<\varepsilon$ , فإدا ما اخترنا $\delta \leq \varepsilon$ , اي لأي نصف قطر اريد استطيع ان أجعل الx قريب من الواحد و دلك بجعل الx قريبة من الواحد بنفس القدر السابق او اقل ,

2-نظرية الحصر
و نصها "إدا كانت $h(x)\leq f(x)\leq g(x) \forall x domain (f)$ و كانت $\lim_{x\rightarrow a}h(x)=\lim_{x\rightarrow a}g(x)$ فإن $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}h(x)=\lim_{x\rightarrow a}g(x)=\Psi$ "
و هي دات فوائد كبيرة

مثال :
اوجد النهاية التالية $\lim_{x\rightarrow a}sin(1/x-a)(x-a)$
الحل
$0\leq sin\Phi \leq 1\Rightarrow 0 \leq sin(1/x-a)\leq 1\Rightarrow 0\leq sin(1/x-a)(x-a)\leq (x-a)\Rightarrow 0\leq \lim_{x\rightarrow a} sin(1/x-a)(x-a)\leq \lim_{x\rightarrow a}(x-a)=0\Rightarrow \lim_{x\rightarrow a}sin(1/x-a)(x-a)=0$

التقنيات المتطورة

-1 تغيير المتغير

أثبت ان $\lim_{\Psi \rightarrow 0}(1+(\Psi ))^{1/\Psi } =e$
الحل
$\lim_{\Psi \rightarrow 0}(1+(\Psi ))^{1/\Psi } =e\Rightarrow \Psi =1/\Phi \because \Psi \rightarrow 0\Rightarrow \Phi \rightarrow \infty \Rightarrow \lim_{\Phi \rightarrow \infty }(1+(1/\Phi ))^\Phi =e$

2-قانون الفرنسي فييوم دي لوبيتال

" $f(a)=0 andg(a)=0\Rightarrow \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(a)}{g(a)}=\frac{0}{0}\Rightarrow \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{\frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x}}{\frac{\mathrm{d} g(x)}{\mathrm{d} x}}$ "

مثال : اثبت ان $\lim_{\Psi \rightarrow 0}\frac{sin\Psi }{\Psi }=1$

الحل ${\color{blue} \lim_{\Psi \rightarrow 0}\frac{sin\Psi }{\Psi }=\frac{0}{ 0}\Rightarrow \lim_{\Psi \rightarrow 0}\frac{sin\Psi }{\Psi }=\lim_{\Psi \rightarrow 0}\frac{d(sin(\Psi ))}{d\Psi }=\lim_{\Psi \rightarrow 0}\frac{(cos\Psi )d\Psi }{d\Psi }=1}$

3-اختبار تقارب المتسلسة
هب انني اريد إيجاد نهاية الدالة $f(x)$ و دلك عندما تسعى x إلى ما لا نهاية , فإني اجعلها متتابعة لمتسلسلة و اطبق عليها احد اختبارات المتسلسلات , و لنأخد هنا اختبار النسبة و الدي ينص على ان
" $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}=\Psi$ " و لدينا ثلاث حالات
1- $0\leq \Psi < 1$ بالتالي وجود النهاية
2- $\Psi \geq 1$ الدي يعني عدم وجود النهاية
3- $\lim_{n \rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}=\infty$ الدي يعني التباعد

مثال
اثبت النهاية $\lim_{n \to \infty }\frac{n!}{n^n}$

الحل بتطبيق ما سبق نجد $\lim_{n \to \infty }\frac{n!}{n^n}\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\times \frac{n^n}{n!}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{(n+1)n!}{(n+1)^{n}.(n+1)}\times \frac{n^n}{n!}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n^n}{(n+1)^n}=\frac{1}{e}< 1$ , "حاول ان تفصل البرهان اكثر"
طبعا هناك طرق اخرى و لكن هده اشهرها , اتمنى ان اكون قد وفقت لشرح مفهوم النهاية , الدي هو حجر الأساس لإمبراطورية التفاضل والتكامل . و الحمد لله رب العالمين على ما وفقني إليه

لا تنسوا تباركوا لــ"نهاية"