ملتقى الفيزيائيين العرب - عرض مشاركة واحدة

الصادق · #6 24-09-2010, 02:15

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

اذا كنا نستطيع ان نبرهن ان فئة الاعداد الطبيعية (لن تشكل زمرة. لماذا؟) تحقق الخاصية التبادلية تحت عملية الضرب الاعتيادي. فان الاعداد القياسية الموجبة سوف تحقق ذات الخاصية تحت نفس العملية

برهان ان الاعداد الطبيعية N تحقق الخاصية الابدالية تحت عملية الضرب الاعتيادي:
طالما ان 1 هو العنصر المحايد لعملية الضرب فانه يحقق
$n1=1n=n$

الان افترض ان $nm=mn$ صحيحة
ودعنا نعتبر
$n(m+1)=nm+n1$
نسبة للافتراض السابق ونسبة لخاصية العنصر المحايد فان
$n(m+1)=nm+n1=mn+1n=(m+1)n$

اذن بالاستقراء الرياضي فان الخاصية الابدالية صحيحة دائماً
.....................................
هل يمكنك ان تستخدم كون ان عملية الضرب هي تكرار لعملية الجمع لتبرهن ان الاعداد الطبيعية تحقق الخاصية التبادلية تحت عملية الضرب الاعتيادي اذا كانت ابدالية تحت الجمع طبعاً ؟
.....................................
هل لك ان تبرهن ان ان الاعداد الصحيحةZ (من دون الصفر) تحقق الخاصية التبادلية تحت عملية الضرب الاعتيادي؟

الاعداد القياسية :
لكل $a,b,c,d\in Z$
فان العدد القياسي يُعرف بـ
$\frac{a}{b}$
بحيث b لا تساوي الصفر
وتحقق عملية الضرب الاعتيادي التالية
$\frac{a}{b}\;\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$
الان طالما ان الاعداد الصحيحة تحقق الخاصية التبادلية تحت عملية الضرب فان
$\frac{a}{b}\;\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}=\frac{ca}{db}=\frac{c}{d}\;\frac{a}{b}$
اذن فان الاعداد القياسية تحقق الخاصية التبادلية تحت عملية الضرب الاعتيادي

ويبقى السؤال: هل الاعداد الحقيقية R (بدون الصفر) تحقق الخاصية التبادلية تحت عملية الضرب ؟ الاعتيادي؟