ملتقى الفيزيائيين العرب - عرض مشاركة واحدة

الصادق · #4 24-10-2010, 03:36

حل السؤال الثاني
مُعطى ان
$\120dpi (ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}\qquad(1)$

اولاً: نريد ان نبرهن ان الزمرة G اذا حققت الشرط اعلاه فانها زمرة ابدالية
من تعريف معكوس العنصر $\120dpi a^{-1}a=aa^{-1}=e$
فان
$\120dpi (ab)^{-1}(ab)=e$
وعليه فان
$\120dpi \\(ab)^{-1}(ab)=e\\ a^{-1}b^{-1}(ab)=e$
بضرب طرفي المعادلة الاخيرة من جهة اليسار في a
$\120dpi \\aa^{-1}b^{-1}(ab)=ae\\ eb^{-1}ab=ae$
حيث استخدمنا تعريف معكوس العنصر في السطر الثاني. و الان طالما ان e هو العنصر المحايد فان
$\120dpi \\ eb^{-1}ab=ae\\ b^{-1}ab=e\\$
بضرب طرفي المعادلة الاخيرة في b من جهة اليسار نحصل على
$\120dpi \\ bb^{-1}ab=be\\ eab=be\\ \\ \Rightarrow ab=ba$
وهذا يبرهن ان تحقق الشرط (1) يقود الى ان G زمرة ابدالية

ثانياً: نريد ان نبرهن ان الزمرة الابدالية تحقق الشرط (1)
اذن دعنا نفترض ان G زمرة ابدالية ولتكن a و b عناصر في G
ودعنا نحسب مايلي
$\120dpi (ab)(b^{-1}a^{-1})=a(b^{-1}b)a^{-1}=aea^{-1}=aa^{-1}=e$
حيث استخدمنا الخاصية التجميعية و تعريف العنصر المحايد e
و طالما ان نانج حاصل ضرب العنصرين اعلاه يساوي العنصر المحايد فان
$\120dpi (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$
وبما ان G زمرة ابدالية فانها تحقق $\120dpi b^{-1}a^{-1}=a^{-1}b^{-1}$ اي ان
$\120dpi \\(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=a^{-1}b^{-1}\\\\ \Rightarrow (ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}$
وهذا يبرهن انه اذا كانت G زمرة الابدالية فانها تحقق الشرط (1)
من اولاً و ثانياً فان G ابدالية اذا كانو اذا كان فقط الشرط متحققاً (1) $\120dpi \square$

والله اعلم