ملتقى الفيزيائيين العرب - عرض مشاركة واحدة

زولديك · #57 04-11-2010, 16:52

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مرجانه

اوجد الحل العام للمعادلة

$\150dpi (3x^2+2\sin ^2y)dx+(3y^2+2x\sin 2y)dy=0$

بالتوفيق :s_thumbup:

الحل , بسم الله

نجعل المعادلة على الصورة

$(3x^2+2\sin ^2y)dx+(3y^2+2x\sin 2y)dy=0\Rightarrow (3x^{2})dx+(3y^{2})dy+2(sin^{2}(y)dx+xsin(2y)dy)$

الآن ندرس القسم

${\color{red} 2(sin^{2}(y)dx+xsin(2y)dy)}$

من هنا نلاحظ أن

${\color{blue} M=sin^{2}y\Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=2sin(y)cos(y)=sin(2y)}$

و ان

${\color{red} N=xsin(2y)\Rightarrow \frac{\partial N}{\partial x}=sin(2y)\therefore \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial M}{\partial y}}$

اي ان القسم السابق يمكن صياغته بأن يكون تفاضل لدالة ما , و بإيجاد هذه الدالة

${\color{blue} 2(sin^{2}y)dx+xsin(2y)dy)\Rightarrow 2(sin^{2}y)+xsin(2y)\frac{dy}{dx})dx={\color{red} 2sin^{2}ydx}}$

أي ان

${\color{blue} \int_{a}^{b} 2(sin^{2}y)dx+xsin(2y)dy)={\color{red}\int_{0}^{x} 2sin^{2}ydx}}$

الآن نعود إلى معادلتنا السابقة لنجد أن حلها العام "بشكل ضمني" هو

${\color{blue} \int_{a}^{b} 2(sin^{2}y)dx+xsin(2y)dy)+{\color{red} \int_{0}^{x}3x^{2}dx}+{\color{red} \int_{0}^{y}3y^{2}dy}=2xsin^{2}y+x^{3}+y^{3}=c}$