ملتقى الفيزيائيين العرب - عرض مشاركة واحدة

مرجانه · #2 25-11-2010, 09:21

وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته

$\150dpi {\color{blue} \int_{0}^{2}\frac{x^2}{\sqrt{2-x}}dx}$

باخذ 2 عامل مشترك

$\150dpi {\color{blue} \frac{1}{\sqrt{2}}\int_{0}^{2}x^2(1-\frac{x}{2})^\frac{-1}{2}dx}$

بفرض

$\150dpi {\color{blue} y=\frac{x}{2}\Rightarrow x=2y\Rightarrow \left dx=2dy}$

حدود التكامل

$\150dpi x: 0\rightarrow 1 \\ y: 0\rightarrow 1$

$\150dpi {\color{blue} \frac{2}{\sqrt{2}}\int_{0}^{1}(2y)^2(1-y)^{\frac{-1}{2}}dy}$

$\150dpi \frac{8}{\sqrt{2}}\int_{0}^{1}(y)^2(1-y)^{\frac{-1}{2}}dy \\(2)^{\frac{5}{2}}\int_{0}^{1}y^2(1-y)^{\frac{-1}{2}}dy$

بماان توصلنا لصورة داله بيتا
نوجد قيمة الـ m & n

$\150dpi m-1=2\Rightarrow m=3\\n-1=\frac{-1}{2}\Rightarrow n=\frac{1}{2}$

من داله جاما

$\150dpi (2)^{\frac{5}{2}}\int_{0}^{1}y^2(1-y)^{\frac{-1}{2}}dy= (2^{\frac{5}{2}})\beta (3,\frac{1}{2})=(2)^{\frac{5}{2}}\frac{\Gamma(3) \Gamma (\frac{1}{2})}{\Gamma (3+\frac{1}{2})}$
$\150dpi (2)^{\frac{5}{2}}\int_{0}^{1}y^2(1-y)^{\frac{-1}{2}}dy= (2)^{\frac{5}{2}}\frac{2!\Gamma (\frac{1}{2})}{\Gamma (3+\frac{1}{2})}\\(2)^{\frac{5}{2}}\frac{2!\Gamma (\frac{1}{2})}{\frac{3}{2}.\frac{1}{2}\Gamma (\frac{1}{2})}=\frac{(2)^{\frac{11}{2}}}{3}$