ملتقى الفيزيائيين العرب - عرض مشاركة واحدة

الصادق · #6 22-12-2010, 22:29

في البداية دعنا نحسب التكامل التالي :
$\int e^{-ax}\cos nx\; dx$

افترض ان $u=\cos nx$ و $dv=e^{-ax}dx$
وعليه فان $du=-n\sin nx$ و $v=-\frac{1}{a}e^{-ax}$

وعن طريق التكامل بالتجزئية $\int udv=uv-\int vdu$ نجد ان

$\int e^{-ax}\cos nx\; dx=-\frac{1}{a}e^{-ax}\cos nx-\frac{n}{a}\int e^{-ax}\sin nx$

باجراء تكامل تجزئية اخر على التكامل الثاني في الطرف الايسر للمعادلة الاخيرة عن طريق تعويض
$u=\sin nx$ و $dv=e^{-ax}dx$ نجد ان

$\int e^{-ax}\cos nx\; dx=-\frac{1}{a}e^{-ax}\cos nx-\frac{n}{a}\left[-\frac{1}{a}e^{-ax}\sin nx+\frac{n}{a}\int e^{-ax}\cos nx \; dx\right]$
بترتيب المعادلة واستخراج التكامل كعامل مشترك (نقل التكامل الاخير في الطرف الايسر الى الطرف الايمن) نجد ان

$\left(1+\frac{n^2}{a^2}\right)\int e^{-ax}\cos nx\; dx=-\frac{1}{a}e^{-ax}\cos nx+\frac{n}{a^2}e^{-ax}\sin nx$
بضرب الطرفين في مربع a نحصل على

$\left(a^2+n^2\right)\int e^{-ax}\cos nx\; dx=e^{-ax}\left[n\sin nx-a\cos nx\right]$

اي ان

$\therefore \; \int e^{-ax}\cos nx\; dx=\frac{e^{-ax}\left[n\sin nx-a\cos nx\right]}{a^2+n^2}\qquad (1)$

الان من اجل التبسيط دعنا نفترض ان
$\sin t= \frac{n}{\sqrt{a^2+n^2}}\qquad \text{and}\qquad \cos t= \frac{a}{\sqrt{a^2+n^2}}\qquad \to \tan t=\frac{n}{a}$

بالتعويض في المعادلة (1) نحصل على

$\int e^{-ax}\cos nx\; dx=\frac{e^{-ax}\left[\sin t\sin nx-\cos t\cos nx\right]}{\sqrt{a^2+n^2}}$

باستخدام مفكوك جيب تمام مجموع الزاويتين $\cos(\theta_1+\theta_2)=\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2$ في الطرف الايسر من المعادلة الاخيرة

$\int e^{-ax}\cos nx\; dx=-\frac{e^{-ax}\cos\left[ nx+t \right]}{\sqrt{a^2+n^2}}\qquad (2)$

ولما كان $\tan t=\frac{n}{a}$ فان $t=tan^{-1} \frac{n}{a}$ اذن بتعويض t في المعادلة (2) نحصل على الصورة النهائية التالية

$\int e^{-ax}\cos nx\; dx=-\frac{e^{-ax}\cos\left[ nx+\tan^{-1}\frac{n}{a} \right]}{\sqrt{a^2+n^2}}\qquad (3)$
.................................................. .................................................. ...............
الان نريد ان نحسب التكامل التالي:
$\int x^ne^{-ax}\cos nx\; dx$

افترض ان $u=x^n$ و $dv=e^{-ax}\cos nxdx$
و عليه فان $du=nx^{n-1}$ اما تكامل dv فقد حسبناه في الاعلى وناتجه يُعطى من المعادلة (3 ) اي ان

$v=-\frac{e^{-ax}\cos\left[ nx+\tan^{-1}\frac{n}{a} \right]}{\sqrt{a^2+n^2}}$
وباجراء التكامل بالتجزئية $\int udv=uv-\int vdu$ نحصل على

$\int x^ne^{-ax}\cos nx\; dx=-\frac{x^ne^{-ax}\cos\left[ nx+\tan^{-1}\frac{n}{a} \right]}{\sqrt{a^2+n^2}}+\frac{n}{\sqrt{a^2+n^2}}\int x^{n-1}e^{-ax}\cos \left[nx+\tan^{-1}\frac{n}{a}\right]\; dx \qquad(4)$

باجراء تكامل بالتجزئية على التكامل الثاني في الطرف الايسر بتكرار نفس الخطوات السابقة سوف نحصل على

$\int x^ne^{-ax}\cos nx\; dx=-\frac{x^ne^{-ax}\cos\left[ nx+\tan^{-1}\frac{n}{a} \right]}{\sqrt{a^2+n^2}}+\frac{n}{\sqrt{a^2+n^2}}\left[\frac{x^{n-1}e^{-ax}\cos\left[ nx+2\tan^{-1}\frac{n}{a} \right]}{\sqrt{a^2+n^2}}+\frac{n-1}{\sqrt{a^2+n^2}}\int x^{n-2}e^{-ax}\cos \left[nx+2\tan^{-1}\frac{n}{a}\right]\; dx\right] \qquad(5)$
لاحظ اننا لم نكرر كل الخطوات بل استخدمنا المعادلة (4) كمعادلة تكرارية وعوضناها على نفسها في الحد الذي يحتوي على التكامل. وهكذا بتكرار تطبيق المعادلة (4) على تكامل الاخير في الطرف الايمن من المعادلة (5) سوف نحصل على

$\int x^ne^{-ax}\cos nx\; dx=-\frac{x^ne^{-ax}\cos\left[ nx+\tan^{-1}\frac{n}{a} \right]}{\sqrt{a^2+n^2}}+\frac{n}{\sqrt{a^2+n^2}}\left[\frac{x^{n-1}e^{-ax}\cos\left[ nx+2\tan^{-1}\frac{n}{a} \right]}{\sqrt{a^2+n^2}}+\frac{n-1}{\sqrt{a^2+n^2}}\left[-\frac{x^{n-2}e^{-ax}\cos\left[ nx+3\tan^{-1}\frac{n}{a} \right]}{\sqrt{a^2+n^2}}+\frac{n-2}{\sqrt{a^2+n^2}}\int x^{n-3}e^{-ax}\cos \left[nx+3\tan^{-1}\frac{n}{a}\right]\; dx\right]\right] \qquad(6)$

وبترتيب المعادلة الاخيرة

$\int x^ne^{-ax}\cos nx\; dx=-\frac{x^ne^{-ax}\cos\left[ nx+\tan^{-1}\frac{n}{a} \right]}{\sqrt{a^2+n^2}}+\frac{nx^{n-1}e^{-ax}\cos\left[ nx+2\tan^{-1}\frac{n}{a} \right]}{\left(\sqrt{a^2+n^2}\right)^2}-\frac{n(n-1)x^{n-2}e^{-ax}\cos\left[ nx+3\tan^{-1}\frac{n}{a} \right]}{\left(\sqrt{a^2+n^2}\right)^3}+\frac{n(n-1)(n-2)}{\left(\sqrt{a^2+n^2}\right)^3}\int x^{n-3}e^{-ax}\cos \left[nx+3\tan^{-1}\frac{n}{a}\right]\; dx \qquad(7)$
من هنا نستنبط انه بتكرار تكامل التجزئية عدد n مرة فان في كل مرة نكرر فيها استخدام المعادلة (4) ينقص اس x بمقدار 1 ويزداد اس المقام بمقدار 1 وتزداد الزاوية داخل علامة الـ cos بمقدار $\tan^{-1}\frac{n}{a}$ وتتغير الاشارة بالتنوب نسبة لان تفاضل الـcos يعطي اشارة سالبة وهكذا فان النتيجة الاخيرة يمكن كتابتها بالصورة المجموع التالي:

$\int x^ne^{-ax}\cos nx\; dx=-e^{-ax}\sum_{k=1}^{n+1}\frac{(-1)^{k+1}n!x^{n-k+1}\cos\left[nx+k\tan^{-1}\frac{n}{a}\right]}{(n-k+1)!\left(a^n+n^2\right)^{\frac{k}{2}}}\qquad(8)$
.................................................. .................................................. ...

الان نريد حساب التكامل المحدد المطلوب في السؤال وهو

$\int_{0}^{\infty} x^ne^{-ax}\cos nx\; dx=-e^{-ax}\sum_{k=1}^{n+1}\frac{(-1)^{k+1}n!x^{n-k+1}\cos\left[nx+k\tan^{-1}\frac{n}{a}\right]}{(n-k+1)!\left(a^n+n^2\right)^{\frac{k}{2}}}\left|_{x= \infty}+e^{-ax}\sum_{k=1}^{n+1}\frac{(-1)^{k+1}n!x^{n-k+1}\cos\left[nx+k\tan^{-1}\frac{n}{a}\right]}{(n-k+1)!\left(a^n+n^2\right)^{\frac{k}{2}}}\right|_{x =0}\qquad(9)$

بتعويض x تؤول الى مالانهاية في الحد الاول نحصل على صفر وذلك لان اقتراب الدالة الاسية من الصفر اسرع من اقتراب $x^{n-k+1}$ والسبب هو ان
$\lim_{y\to \infty}\frac{y^n}{e^{y}}=\limit_{y\to \infty}\frac{y^n}{1+y+\frac{y^2}{2!}+\cdots +\frac{y^n}{n!}+\frac{y^{n+1}}{(n+1)!}+\cdots}=\li m_{y\to \infty} \frac{1}{\frac{1}{y^n}+\frac{1}{y^{n-1}}+\cdots +\frac{1}{n!}+\frac{y}{(n+1)!}+\frac{y^2}{(n+2)!}+ \cdots}=0$

الان فان المساهمة الوحيدة تاتي فقط من الحد الثاني في المعادلة (9)

$\int_{0}^{\infty} x^ne^{-ax}\cos nx\; dx=e^{-ax}\sum_{k=1}^{n+1}\frac{(-1)^{k+1}n!x^{n-k+1}\cos\left[nx+k\tan^{-1}\frac{n}{a}\right]}{(n-k+1)!\left(a^n+n^2\right)^{\frac{k}{2}}}\LARGE |_{x=0}\qquad(10)$
الان بتعويض x=0 فان كل الحدود ماعدا الحد الاخير في المجموع تعتمد على x وبالتالي فان المساهمية غير الصفرية تاتي فقط من الحد الاخير اي عند k=n+1

$\int_{0}^{\infty} x^ne^{-ax}\cos nx\; dx=e^{-a\times 0}\frac{(-1)^{n+1+1}n!x^{n-(n+1)+1}\cos\left[n\times 0+(n+1)\tan^{-1}\frac{n}{a}\right]}{(n-(n+1)+1)!\left(a^n+n^2\right)^{\frac{n+1}{2}}}\qqu ad(11)$
وهكذا فان

$\int_{0}^{\infty} x^ne^{-ax}\cos nx\; dx=\frac{n!\cos\left[(n+1)\tan^{-1}\frac{n}{a}\right]}{\left(a^n+n^2\right)^{\frac{n+1}{2}}}\qquad(12)$

هذا والله تعالى اعلم