ملتقى الفيزيائيين العرب - عرض مشاركة واحدة - الإستقراء الرياضي ( Mathematical Induction )

زولديك · #3 31-01-2011, 17:09

اولا

${\color{blue} \sum_{0}^{n}ar^{k}=a(\frac{r^{k+1}-1}{r-1})\Leftrightarrow \sum_{0}^{n}r^{k}=(\frac{r^{k+1}-1}{r-1})}$
.

نختبر صحة هذه الاخير عند k=0 و منه نجد ان
${\color{blue} \sum_{0}^{n}r^{k}=(\frac{r^{k+1}-1}{r-1})\Rightarrow \sum_{0}^{n}r^{0}=(\frac{r^{0+1}-1}{r-1})}$

و هي صحيحة . نفرض صحة العلاقة عند k=z أي ان

${\color{blue} \sum_{0}^{k=z}r^{z}=(\frac{r^{z+1}-1}{r-1})}$

الآن من جديد نريد ان ننطلق من صحة العلاقة عند k=z إلى k=z+1 و بالتعويض k=z+1 نجد أن

${\color{blue} \sum_{0}^{k=z+1}r^{z+1}=(\frac{r^{z+2}-1}{r-1})}$

الآن يتوجب علينا الوصول غلى هذه الاخير بإستخدام الأفتراض الاول و هو صحة العلاقة عند k=z و في سبيل ذلك نجد ان
$\sum_{0}^{k=z}r^{z}=(\frac{r^{z+1}-1}{r-1})\Rightarrow \sum_{0}^{k=z}r^{z}+r^{z+1}=\sum_{0}^{k=z+1}r^{k}=(\frac{r^{z+1}-1}{r-1})+r^{z+1}=(\frac{r^{z+1}-1+r^{z+2}-r^{z+1}}{r-1})=\frac{r^{z+2}-1}{r-1}$

وهو المطلوب الوصول إليه .

جبريا

نعلم ان ${\color{blue} \sum_{0}^{k=n}f(k+1)-f(k)=f(n+1)-f(0)}$
و منه نجد
${\color{blue} f(k)=r^{k}\Rightarrow \sum_{0}^{k=n}r^{k+1}-r^{k}=r^{k+1}-1}$

لكن

${\color{blue} \sum_{0}^{k=n}r^{k+1}-r^{k}=\sum_{0}^{k=n}r^{k}.r-r^{k}=\sum_{0}^{k=n}r^{k}(r-1)=(r-1)\sum_{0}^{k=n}r^{k}}$

اي ان

${\color{blue} \sum_{0}^{k=n}r^{k+1}-r^{k}=(r-1)\sum_{0}^{k=n}r^{k}=r^{k+1}-1\Leftrightarrow \sum_{0}^{k=n}r^{k}=\frac{r^{k+1}-1}{r-1}}$