ملتقى الفيزيائيين العرب - عرض مشاركة واحدة - التعريف الدقيق للنهاية

مهند الزهراني · #1 24-03-2011, 14:33

بسم الله الرحمن الرحيم

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

سأقدم هنا تمهيدا بسيطا جدا للتعريف الدقيق للنهاية علها تفيدكم ، علما بأنه هناك محاذير ودقة شديدة للتعريف اذا تناولته مثل مقررات التحليل الحقيقي اللي قدمته بصورة متشددة

لكن عل تقديمي هنا يكون جيدا مع بعض التساهل

وأبدأ بتقديم بسيط قبل الدخول بالتعريف

وأعتذر منكم لأني سأغلق الموضوع حتى أنتهي منه ومن ثم أفتحه للتعليقات والمداخلات

.......

التعريف الدقيق للنهاية - تمهيد :-

اذا فرضنا أن لدينا دالة $f :D\rightarrow \mathbb{R}$ حيث $D$ مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية

وافرض أنك قلت لشخص ما التقرير التالي " $f (x )$ قريبة من $L$ "

فهذا يعني وجود مقياس للقرب متفق عليه $\varepsilon > 0$ بحيث أن :

$\left | f(x)-L \right |< \varepsilon$

الآن بالمثل العبارة " $x$ قريبة من $c$ " تعني أن هناك مقياسا آخر متفق للقرب عليه هو $\delta > 0$

وبالتالي فان التقرير التالي " نهاية $f ( x )$ عندما تقترب $x$ من $c$ هي $L$ " يعني لديه

$x\in D,\left | x-c \right |< \delta \Rightarrow \left | f(x)-L \right |< \varepsilon$

بنفس المناقشة اذا خاطبنا شخصا آخر له مقياسين آخرين للقرب $\delta _1> 0,\varepsilon _1> 0$

سيكون تقرير النهاية له على الشكل التالي

$x\in D,\left | x-c \right |< \delta _1\Rightarrow \left | f(x)-L \right |< \varepsilon _1$

ولا شك أننا نريد أن يكون تقريرنا منفصلا على المخاطب ولذلك يلزم انه أن نجد $\delta > 0$ كلما اخترنا $\varepsilon > 0$ بحيث يكون

$x\in D,\left | x-c \right |< \delta \Rightarrow \left | f(x)-L \right |< \varepsilon$

" مصدر ما سبق : كتاب مبادئ التحليل الحقيقي - الجزء الأول للدكتورين محمد القويز وصالح السنوسي بجامعة الملك سعود بالرياض "

وان شاء الله لنا تتمة حسب ما يتوفر لدي من وقت

والله الموفق ...