ملتقى الفيزيائيين العرب - عرض مشاركة واحدة

زهرة الأوركيد · #2 28-03-2011, 00:35

محاولة لاكمال الحل :

$ A=\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{a+d}+\frac{d-a}{a+b} \\ A+4 = \frac{a+c}{b+c}+\frac{a+c}{a+d}+\frac{b+d}{c+d}+ \frac{b+d}{a+b}\\ =(a+c)\left(\frac{a+b+c+d}{(a+d)(b+c)}\right)+(b+d )\left(\frac{a+b+c+d}{(a+b)(c+d)}\right) \dots\qquad (1) $

From Am-Gm

$ \frac{a+b+c+d}{2}\geq \sqrt{(a+d)(b+c)} \Rightarrow \frac{a+b+c+d}{(a+d)(b+c)}\geq \frac{4}{a+b+c+d}\\ \frac{a+b+c+d}{2}\geq \sqrt{(a+b)(c+d)} \Rightarrow \frac{a+b+c+d}{(a+b)(c+d)}\geq \frac{4}{a+b+c+d}\\ $

بالتعويض في (1)

$ A+4 \geq \frac{4}{a+b+c+d} \left (a+c+b+d\right) \Rightarrow A+4\geq 4\Rightarrow A\geq 0 $