ملتقى الفيزيائيين العرب - عرض مشاركة واحدة

مهند الزهراني · #10 31-07-2011, 18:39

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مهند الزهراني

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته ...

معادلة دالية تحتاج تفكير ...

أوجد كل الدوال

$\150dpi f : \mathbb{R}^+\cup \left \{ 0 \right \}\rightarrow \mathbb{R}^+\cup \left \{ 0 \right \}$

التي تحقق الخواص التالية

$\150dpi f(2)=0$

$\150dpi f(x)\neq 0 \ \forall x\in [0,2)$

$\150dpi f(x+y)=f(xf(y))f(y) \ \forall x,y\in \mathbb{R}^+\cup \left \{ 0 \right \}$

أولا : لاحظ أنه لكل $x\in [0,\infty)$

فإنه من الخاصية الثالثة

$f(x+2)=f(xf(2))f(2)=0$

من الخاصية الأولى

وبالتالي فان قيمة الدالة = 0 لكل قيم x أكبر من او تساوي 2

ثانيا

لكل $y_0\in (0,2]$ فإن

$0=f(2)=f((2-y_0)+y_0)=f((2-y_0)f(y_0))f(y_0)$

وبالتالي

$f((2-y_0)f(y_0))=0\Rightarrow (2-y_0)f(y_0)\geq 2\Rightarrow f(y_0)\geq \frac{2}{2-y_0}$

الان ما نريده هو اثبات ان حالة المساواة هي فقط المتحققة وأكبر من خاطئة

ولنصل الى ذلك نفرض أن أن

$f(y_0)> \frac{2}{2-y_0}$

وبالتالي يمكننا ايجاد $y_0<y_1<2$ fpde j;,k

$f(y_0)=\frac{2}{2-y_1}$

الان اختر $x_1=2-y_1$

وبالتالي

$f(x_1f(y_0))=f\left ( (2-y_1).\frac{2}{2-y_1} \right )=f(2)=0$

$\Rightarrow f(x_1+y_0)=f(x_1f(y_0))f(y_0)=0$

$\Rightarrow x_1+y_0\geq 2$

وهو تناقض

وبالتالي

$f(y)=\frac{2}{2-y} \ \forall y\in [0,2)$

وبالتالي الدالة التي تحقق الشروط أعلاه هي فقط

$f(x)=\left\{\begin{matrix} 0 \ \ \forallx\geq 2 & \\ \frac{2}{2-x} \ 0\leq x<2 & \end{matrix}\right.$