[فراج]

الرياضيات والفلك


كان لتساؤلات الخوارزمي طـوال حيـاته عن الزمـان والمكان والكميـات المفقودة فـوائد في علم الجبر




















محمد الخوارزمي، أبو علم الجبر




















مزولة سورية فريدة من القرن الثاني عشر






عبقرية الخوارزمي

رغم المكانة المميزة التي تصدرها كتاب «المجسطي» في فكر الرياضيين العرب الأوائل، إلا أن محمد الخوارزمي، أعظم علماء عصره في ميدان الأعداد، كان مبهوراً بوثائق أخرى من مناطق أبعد في جهة الجنوب والشرق. ففي حين كان كثير من زملائه في بيت الحكمة يقصرون بحثهم ودراستهم على النصوص اليونانية والبيزنطية المنقولة تدريجياً إلى العربية، كان الخوارزمي مهتماً بكتابات قادمة من الهند.

ولقد مكنته أبحاثه في نصوص كتب الرياضيات والفلك المنقولة من الهندية من إحداث ثورة في مفهوم الأعداد لدى العرب ووضع الأساس للرياضيات العصرية المتقدمة ونهوض الغرب.

وامتاز الخوارزمي بموهبة فذة في مجال الأعداد. وكان في مرحلة ما أوائل القرن التاسع الميلادي قد انضم إلى بيت الحكمة في بغداد إبان عهد المأمون.

وفي حين أن زملاءه كانوا يواصلون مشاريعهم الخاصة، كان هو يطلب من القيّمين على مكتبة الخليفة تتبع أرشيفات الأوراق التي جلبت من الهند أيام الخليفة الراحل هارون الرشيد وجمعها. وبعد بحث كبير، تجمع لديه كنز ثمين من الوثائق الهندية، يتضمن «كتاب السند هند» Brahma Sphuta Siddhanta.

وأدت دراسة الخوارزمي لهذا البحث لإطلاق عملية استكشافية لا يزال صداها مسموعاً في العصر الحاضر.

وباستخدام الوسائل اللغوية المساعدة في الترجمة، بدأ الخوارزمي بنقل الرموز الأجنبية إلى اللغة العربية. وكان كل يوم يفك طلاسم الأفكار والرموز التي كانت بداية غامضة له، لكنها أصبحت واضحة تدريجياً في ضوء بصيرته الثاقبة.

اكتشف أولاً الطريقة الهندية لتمثيل الكميات العددية برموز. وحتى ذلك الحين، كان العرب وغيرهم في منطقة البحر المتوسط وبلاد الرافدين يستخدمون طرقاً عدة للتعبير عن الكميات العددية. إحدى هذه الطرق كانت الطريقة الحرفية، أي كتابة الأرقام ككلمات. وطريقة أخرى تمثلت في أسلوب معقد في عد الأصابع، وهي طريقة ربما كانت متعددة الاستعمالات كالمعداد الصيني، لكنها لم تكن كافية لسد حاجات حسابات مواقع النجوم الأكثر تجريداً. كما كانت هناك الأحرف الإغريقية مثل pi، وأخيراً نظام الأرقام الرومانية.

حين فتح الخوارزمي الصحائف أمامه، رأى نظاماً من الرموز الهندية تمثل الكميات من 1 إلى 10 ثم مجموعات مركبة من هذه الرموز لتمثيل الكميات الزائدة إلى ما لا نهاية. ولقد كشف له هذا النظام الجديد في الترميز أشياء كثيرة.

أولاً رأى أن الهنود استقروا على النظام العشري باعتباره أنجع طريقة للتعامل مع الحسابات الشديدة التعقيد. ورغم أنه هو وعلماء عرب ومسلمون آخرون كانوا يعرفون النظام العشري، إلا أنه لم يكن مستخدماً على نطاق واسع. كما وجد أن استخدام نظام الرموز هذا أسهل بما لا يقارن من الطرق الأخرى لتمثيل الكميات.

فأخذ هذا النظام في الترميز واعتمده كنظام خاص به، ثم أصبح يعرف تدريجياً بنظام الأرقام الهندية العربية، كما اعتمدته لاحقاً أوروبا والغرب – ما أحدث ثورة في تبسيط الرموز الرياضية بتحويلها إلى لغة عالمية فعالة ومتناسقة منطقياً.

لكن بين ثنايا هذه الطريقة الهندية لكتابة الأرقام كان يختفي رمز آخر، رمز مثّل بحد ذاته ثورة تعادل الثورة التي أحدثها النظام أجمع. في الكتابات الهندية لبراهماجوبتا كانت هناك نقطة سوداء تكتب وحدها. وعندما طلب الخوارزمي من مترجميه شرحاً لها، أجابوه بأنها تعني لا شيء. وظن أنهم يمزحون معه فألح في طلب الشرح. فردوا عليه بالقول إن النقطة السوداء تمثل مقدار اللاشيء.

نحن الآن نعرف هذا المقدار بأنه الصفر – الذي يمثل مفهوماً فتح آفاقاً جديدة من التجريد. لقد دهش الخوارزمي أمام المعاني الضمنية لهذا المفهوم. وسحره معنى الصفر وغموضه والتباسه. بل إنه حاول استخدام الصفر في القسمة ودهش من عدم وجود إجابة، فهذا أمر فريد في القسمة.

وما زال هناك المزيد في الأبحاث الهندية. فقد لاحظ الخوارزمي وجود منظومة كاملة من الأعداد أدنى من الصفر، أعداد تمتد في الاتجاه السالب اللامتناهي قدر امتداد أعداد الجانب الموجب.

نحن نعرف هذه الأعداد اليوم بمجموعة الأعداد السالبة. ولأن هذه الأرقام، مثلها مثل اللاشيء، لا يمكن رؤيتها أو قياسها في العالم المادي، فهي مفهوم تجريدي محض. لكنها تمكن من إجراء الحسابات المجردة كافة التي لا يمكن إجراؤها لولاها.

وسرعان ما فتح محمد الخوارزمي قلبه وعقله لهذه الرموز والمفاهيم الأجنبية كلها وجعلها ملكاً له. ولو لم يفعل ذلك، فربما كان اختلف مسار تاريخ العالم كله. وما نسميه العصر الحديث ربما كان سيتأخر قروناً حتى يتحقق.

لقد أدرك الخوارزمي أهمية تبادل هذه المفاهيم ونشرها على أوسع نطاق ممكن. واستشعر حجم المأساة التي كانت يمكن أن تحصل لو أكل العث أوراق البراهماجوبتا في مكتبة الخليفة أو في الهند وشمر عن ساعديه عازماً على تدوين كل هذه المفاهيم القديمة الجديدة في وثيقة يمكن للحضارة العربية الناشئة أن تستخدمها.

وسمى كتابه باللغة العربية باسم «السند هند»، وقد انتهى منه حوالي عام 825م. ولأنه كان يعمل وفق نموذج رياضي محدد يعرف باسم المعادلة المتعددة الحدود، فقد أصبح مهووساً بطرق إيجاد المقـادير المفقـودة. وبحلول عـام 830م كان قد نشر كتاباً تحت عنوان «كتاب المختصر في حساب الجبـر والمقابلة».

وكان الخوارزمي بذلك قد يبلور عملية رياضية سيكون لها ذات يوم أثر في العالم أكبر من اكتشافه لأبحاث براهماجوبتا. هذه العملية تعرف لدينا اليوم باسم الجبر، وهي تمثل أحد أركان الرياضيات المتقدمة الحديثة وكل ما يتفرع عنها من علوم وهندسة وإدارة مالية، وكل تجليات العالم الرقمي.

ولو لم يكن للخوارزمي سوى هذا الاكتشاف لكفاه فخراً ولجعله في منزلة تضاهي منزلة إقليدس ونيوتن وأنشتاين وغيرهم من النخبة. لكن اكتشافاته لم تقف عند هذا الحد.

فمن المشتقات الكثيرة للجبر هناك صيغة معقدة لا يفهمها إلا كبار الرياضيين للتعامل مع أرقام البيانات الكبيرة. هذه الصيغة تسمى الخوارزمية، التي أصبحت في عصرنا الراهن أساساً لكتابة البرمجيات والتعرف على الأنماط ووضع نماذج الأسواق المالية وأساليب البحث في محرك جوجل وما شابهه وتحديد تسلسل الجينات الوراثية لدى البشر وغير ذلك كثير. ولولا هذه الصيغة لما وجد عالم التقنيات الرقمية المعاصرة.

ظل مؤرخو علوم الرياضيات يعتقدون لبضعة قرون أن كلمة ألجوريزم algorithm (الخوارزمية) من أصل يوناني لأن نهايتها "ithm" تشبه نهايات كلمات يونانية مثل "rhythm" و "hymn". ومؤخراً عرف الباحثون أن هذه الكلمة هي في الحقيقة الصياغة اللاتينية لاسم الخوارزمي. وكان علماء أوروبا في القرون الوسطى يدركون تماماً أصل هذه الكلمة لكن هذا الأصل نسي مع مر القرون.

ويعد الخوارزمي أبا الخوارزميات التي أحدثت بعد عهد الخوارزمي بنحو 1200 سنة ثورة في ميادين الحواسيب والبرمجيات والاتصالات عبر الشبكات. ومن الجدير بالذكر أن كتبه لم تترجم إلى اللاتينية وتدخل أوروبا إلا بعد وفاته بنحو 300 سنة. وظلت أوروبا في عصور الظلام حتى ذلك الحين تفتقر إلى الدوائر والأوساط العلمية والفكرية التي يمكنها أن تستفيد منها، باستثناء عدد محدود من رجال الدين المثقفين المعزولين في مكتبات الرهبان. وعندما ترجم الراهب الإنكليزي روبرت التشيستري كتاب المختصر إلى اللاتينية في إسبانيا عام1145م، كانت أوروبا قد بدأت بصعوبة تنفض عنها غبار سباتها الطويل الذي بدأ مع سقوط روما.

ولم يكن «كتاب المختصر» العمل الوحيد للخوارزمي. فبعد انتهائه منه ألّف كتابا آخر حول علم الحساب تُرجم إلى اللاتينية حوالي عام 1126 م على يد راهب إنكليزي آخر اسمه أديلارد الباثي. وكان لهذا الكتاب أهميته لأنه عرّف أوروبا بنظام الأرقام العربية الهندية، ممهداً الطريق أمام الفتوحات العلمية والفكرية الكبيرة في تلك القارة لاحقاً.

إضافة إلى ماسبق كان الخوارزمي، مثله في ذلك مثل كل الرياضيين البارزين في عهود الخلافة العربية الأولى، شغوفاً أيضاً بحركة الأفلاك. وحوالي عام 820 م، أكمل تأليف كتاب مختصر يعرض فيه فهمه ورؤيته الثاقبة لحركة الأجرام السماوية. هذا الكتاب، المسمى «زيج السندهند» أو «جداول النجوم وفق طريقة الحساب الهندية»، كان أول عمل فلكي عربي يتجاوز حد ترجمة الأعمال الفلكية الموجودة مسبقاً لدى الحضارات القديمة.

ومع أن هذا الكتاب استخدم أدوات هندية وغير هندية، إلا أنه طبقها بطرق جديدة لتعقب حركات الشمس والقمر وخمسة كواكب كانت معروفة في ذلك الوقت. واخترع الخوارزمي أيضاً مزولة يمكن استخدامها على أي ارتفاع لمعرفة الوقت بدقة. ولقد ركبت مزولة الخوارزمي هذه بعد ذلك في كثير من المساجد للاستعانة بها في تحديد المواعيد الدقيقة للصلاة.

ويبدو أيضاً أنه طور إصدارات عدة من جهاز الربعية (لقياس الارتفاع) المنافس للأسطرلاب. ولقد مثل هذان الجهازان حاسوبين تماثليين يستخدمان المواقع السماوية لتحديد الزمان والمكان. فربعيته الجيبية كانت تساعد على رسم حركات النجوم، أما ربعيته الساعية فكانت تحدد الوقت بدقة من خلال موقع الشمس أو النجوم، فكانت لها فائدة كبيرة في تعيين أوقات الصلاة خاصة.
كما بدأ الخوارزمي أيضاً في كتابه «زيج السندهند» مشروعاً اشتهر به العرب وعملوا عليه طويلاً وهو ابتكار التقاويم وبيانات النجوم، وقد شمل هذا العمل 117 جدولاً للنجوم و37 فصلاً عن حساب التقويم.