ملتقى الفيزيائيين العرب - عرض مشاركة واحدة - مفاهيم اساسية فى الجبر
عرض مشاركة واحدة
  #1  
قديم 03-12-2010, 20:52
الصورة الرمزية الصادق
الصادق
غير متواجد
فيزيائي مبدع
 
تاريخ التسجيل: Jul 2006
المشاركات: 439
افتراضي مفاهيم اساسية فى الجبر

وحدات البناء الاساسية

1- الفئة Set : هى عبارة عن ثُلة collection من الاشياء التى ليس من الضروري ان يربط بينها رابط مشترك او تحقق اى خواص اضافية فمثلاً ثُلة من n شخص تمثل فئة من الاشخاص و كذلك ايضاً ثُلة من n نقطة تمثل فئة من النقاط. و عدد العتاصر n فى الفئة يمكن ان يكون منتهياً او لانهائياً.
.................................................. .................................................. ...........................
2-الزمرة Group :
نقول ان G تمثل زمرة اذا كان لدينا:
a- فئة من العناصر تنتمي للزمرة
b-عملية ثنائية تسمى بعملية الضرب على الزمرة
وتحققت الشروط :
A1- الاغلاق Closure

A2-العملية التجميعية Associativity

A3-وجود عنصر محايد

A4- وجود معكوس وحيد
لكل عنصر يوجد معكوس وحيد يرمز له بـ و بحيث


مثال(1):
فئة كل التبديلات الممكنة للنقاط 1, 2 , 3 تشكل زمرة تسمى بزمرة التباديل
لاحظ ان العنصر المحايد هو عملية عدم اجراء التبديل اى ان النقطة 1 تتحول لمكان النقطة 1 والنقطة 2 تتحول الى مكان النقطة 2 و اخيراً النقطة 3 تتحول الى مكان النقطة 3
اذن قبل اجراء التبديل كل لدينا الترتيب (123) وبعد التبديل اصبح لدينا الترتيب (123) و بالطبع فان هذا التأثير يمثل العنصر المحايد ونرمز له بـ

يمكن تبديل النقطتين 1 و 2 وترك النقطة 3 فى مكانها اى ان النقطة 1 تتحول الى النقطة 2 و النقطة 2 تتحول الى النقطة 1 و النقطة 3 تتحول الى النقطة 3
اذن قبل اجراء التبديل كان لدينا الترتيب (123) و بعد التبديل اصبح لدينا الترتيب (213) وهذا العنصر يرمز له بـ

يمكن تثبيت النقطة 2 و تبديل النقاط 1 و 3 و هذا العنصر يرمز له بـ

ويمكن ايضاً تثبيت النقطة 1 و تبديل النقاط 2و 3 و هذا العنصر يرمز له بـ

يمكن تبديل جميع النقاط بحيت تتحول اى نقطة الى مكان النقطة التالية فى الترتيب اى تتحول النقطة 1 الى النقطة 2 و تتحول النقطة 2 الى النقطة 3 و تتحول النقطة 3 الى النقطة 1

و اخيراً تبديل جميع النقاط بحيث ان اى نقطة تتحول الى مكان النقطة السابقة لها فى الترتيب فمثلاً النقطة 3 تتحول الى النقطة 2 و النقطة 2 تتحول الى النقطة 1 و النقطة 1 تتحول الى النقطة 3 اى ان


هل يمكن اضافة عنصر آخر؟
اوجد حاصل الضرب . ما الذى يمكن استنتاجه؟
اوجد حاصل الضرب . ماذا تستنتج؟
ماذا تتوقع ان يكون عدد عناصر زمرة التبديل

مثال(2):
فئة الاعداد الحقيقية تشكل زمرة تحت عملية الجمع الاعتيادي +
العنصر المحايد هو الـ0
لكل عدد حقيقي a يوجد عدد وحيد حقيقي a- يمثل معكوسه الجمعي

مثال(3) فئة الاعداد الحقيقة باسثناء الـ 0 تشكل زمرة تحت عملية الضرب الاعتيادي
العنصر المحايد هو الـ 1
لكل عنصر a يوجد عنصر وحيد يمثل المعكوس الضربي

سؤال: لماذا تم استبعاد الـ 0 ؟

مثال(4):
فئة كل المصفوفات الحقيقية المربعة الغير شاذة تشكل زمرة تحت عملية ضرب المصفوفات
العنصر المحايد هو مصفوفة الوحدة
طالما ان هذه المصفوفات غير شاذة فان لكل مصفوفة يوجد معكوس


فى الزمر التى فى الامثلة 2 و 3 نجد ان الترتيب الذى نجري به العملية الثنائية غير مهم و لذلك نقول انها زمر ابدالية

A5- الخاصية التبادلية commutativity: اذا حققت الزمرة الخاصية
فاننا نقول ان الزمرة G زمرة ابدالية Abelian
ومن الواضح ان الزمر فى الامثلة 1 و 4 هى زمر غير ابدالية (تأكد منها بنفسك)
]
رد مع اقتباس