ملتقى الفيزيائيين العرب - عرض مشاركة واحدة - معادلات هاملتون و لاجرانج ... أسئلة حيرتني
عرض مشاركة واحدة
  #3  
قديم 12-03-2008, 20:54
الصورة الرمزية المتفيزق
المتفيزق
غير متواجد
أستاذ فيزياء
محاضر في الدورة الثانية لتعليم الفيزياء
 
تاريخ التسجيل: Jan 2007
المشاركات: 1,688
افتراضي رد: معادلات هاملتون و لاجرانج ... أسئلة حيرتني

السلام عليكم...
بضاعتي في الموضوع مزجاة... لطول غياب عنها ... لكني سأحاول أن أطرق الموضوع طرقا رفيقا وربما أستطيع التعمق فيما بعد حسب الظروف...
لا تعليق على المقدمة فهي رائعة روعة فهم الهوائية... لكن في الأسئلة بعض الكلام...

لنأخذ أولا مسألة أن القوة لا تعتمد على الزمن أو السرعة وإنما تعتمد على الموضع ... هذه لا تتجه فيما أعلم إلا إذا تحدثنا عن القوة المحافظة التي يكون فيها الالتفاف = صفرا curl F(cons.) = 0 ... وذلك لأن دالة الجهد هي التي تعتمد على المحاور المعممة (generalized coordinates ) الخاصة بالموضع فقط ... أما الزخم والقوة والطاقة الحركية فهي اقترانات في الموضع والسرعة f(q1,q2,q3,….q1`,q2`,q3`…) أقصد المحور وتفاضله بالنسبة للزمن وهو ببساطة السرعة على ذلك المحور... ولذلك ينتفي في تقديري العجب من السؤال الأول...

ومسألة عدم وجود احتكاك... هذه حالة مثالية عادة ...يعني نحن افترضنا عدم وجود الاحتكاك لنحل المسألة الأخف والأسهل ثم نعمد بعد ذلك إلى المسائل الصعبة القريبة من المسائل الحياتية ... أعطيك مثالا تعرفينه جيدا... عندما درسنا الديناميكا الحرارية ... كنا ندرس بداية الغاز المثالي ... وهو في الحقيقة غاز لا وجود له ... لكنه نهاية القيم التي نحصل عليها مثلا عندما يكون الضغط صفريا أو نحو ذلك ... لكننا ندرس بعد ذلك غاز فان دير فالز ونتحدث عن نقاط تصحيح فنضيف حدين في صيغة الضغط والحجم للغاز ونستنتج العوامل ونرى انها قريبة جدا من الغاز الحقيقي في حدود معينة ... ثم يأتي بيتي وبريدج ليضعا دالة اخرى مع تصحيح اكبر ويزعما ان ذلك يطبق في نطاق أكبر ...وهكذا ... وبالطبع شيئيا فشيئا الامر يزداد صعوبة ... ولكننا لا نستطيع ابتداء ان نسأل: هل قانون الغاز المثالي صحيح وهو يصف الحالات بدقة ... لان الاجابة البدهية نعم على اعتبار مثل هذه الظروف موجودة...
أعطي مثالا اخر أيضا ... ندرس البندول البسيط ... ونكاد نجزم انه صحيح لدرجة عالية من الدقة (العملية) في حياتنا اليومية برغم أنه في الحقيقة مثالي وليس حقيقيا لاعتبارات الزاوية واعتبارات اهمال المقاومات على الاقل ناهيك عن قوة كوريوليس مثلا ... ولكننا إذا رحنا نطبق التأثيرات المختلفة فإننا سوف نكون أفضل في الحكم على الحركة لكن هذا سوف يصعب المسالة وربما يأتي من يدرس ماجستير في حل بعض هذه الأنظمة المعقدة...
ما أريد أن أقوله إن عدم اعتبار المقاومات لا يجعل المعادلة قاصرة عن وصف الحقيقة بل نحن قاصرون عن تطبيقها عند الظروف الحقيقية فنلجأ إلى نوع من التقريب ومنه اعتبار الاحوال المثالية.
ومع ذلك فإنني مرة اخرى أعجب من قولك هذا وأرى انه لا يتجه أيضا وذلك لأن الذي يتعامل مع معادلات لاجرانج وهاميلتون يعرف أن هناك قوة معينة في حالة النظام غير المحافظ والتي تعطى الرمز F` أو ربما Qk فيما اذكر وهي تمثل الشغل المبدد في حالة الثيرموديناميكا... فكيف تقولين إنه لا وجود أصلا للقوى الاحتكاكية؟؟؟ كل ما في الامر اننا في العادة نجعل هذه الكمية صفرا من أجل سهولة الحلول ... حتى في الدراسات العليا وما بعد العليا وما بعد الذي بعدها نظل في الفيزياء نقرب ونستخدم الحالات الخاصة في كثير من الاحيان ... بل إنه كلما حزبنا امر رحنا نبحث عن تقريب تايلور مثلا لكي نقرب المسائل... هذا ما يحضرني الان...

بالنسبة للسؤال حول امكانية استغراق المعادلتين لجل مسائل الفيزياء فهذا صحيح... لاحظي أننا لا نطبق هذا بالضرورة على الضوء أو الصوت أو قوانين الكهرباء والحرارة بل الميكانيك تحديدا... وفي هذه الحالة فكل الحركات تعتبر محكومة بالتحويلات القانونية ومعادلات هاميلتون ولاجرانج ... وربما كان السؤال أصعب لو قيل : اعط مثالا ناقضا مضادا على طريقة اهل الرياضيات ينقض كونها صحيحة...

بقيت قصة تحقق الشرطين... فأما المعاوقات فهي معتبرة ابتداء كما قلنا في الحد الخاص الذي نهمله عادة وكوننا نهمله ليس خطأ في القانون بالتأكيد...
وأما الجهد فهو دالة في الموضع ولا يعتمد على الزمن ... هذا ما نعرفه ... البرهان لا أستحضره الأن لكني أظن أننا ربما تعرضنا له في جولدشتاين والله أعلم ... لكني لا أذكر من ذلك شيئا الان... دعنا نرجيه قليلا...
وببساطة نرجع إلى ما قلناه آنفا ... إن كوننا نعتبر أن ذلك قائم (ولا بالاستقراء بحيث يكون هذا هو الغالب كما نعتبر فترة الحمل تسعة شهور على الغالب) فإن ذلك يتجه في أكثر من 90 بالمائة من المسائل مثلا ... ثم إن كونه اشترط من البداية فإن ما يحقق الشرط يعتبر صحيحا عند حله أيضا تحت هذه الظروف ولو بنسبة ما ... ومن أراد أن يزيد فليضع شروطا أخرى وليحل المسألة من جديد...
بقي أن نقول إن المعادلتان في النهاية متكافئتان من خلال حل المسائل حيث تأخذ نفس الحل النهائي لكن الغالب أن تستخدم دالة لاجرانج في الميكانيكا فهي اسهل في التعامل ... إلا أننا في ميكانيكا الكم نعتمد هاملتون ولا نلقي لمعادلات لاجرانج بالا في العادة... ومثل ذلك في الفيزياء الإحصائية ...
هذا ما لدي الان ... ونحن جاهزون (هههه) لنقرأ المزيد...
رد مع اقتباس