ملتقى الفيزيائيين العرب - عرض مشاركة واحدة - الصياغة النسبوية لنظرية الكم
عرض مشاركة واحدة
  #8  
قديم 03-04-2010, 17:46
الصورة الرمزية الصادق
الصادق
غير متواجد
فيزيائي مبدع
 
تاريخ التسجيل: Jul 2006
المشاركات: 439
افتراضي رد: الصياغة النسبوية لنظرية الكم


معادلة ديراك
فى بحثه عن معادلة كمية نسبوية , قام ديراك بملاحظة ان معادلة كلين-غوردون هى معادلة من الدرجة الثانية لذا قام بافتراض وجود معادلة من الدرجة الاولى (فيها تفاضل من الدرجة الاولى فى الزمن و تفاضلات من الدرجة الاولى فى الفضاء المكانى ) واذ ما تم تربيع هذه المعادلة سوف نحصل على معادلة كلين-غوردون

حيث افترض ان موثر الهملتونيان دالة خطية فى مؤثرات كميات الحركة



حيث المعاملات هى ثوابت غير معلومة حتى الان. ولكن اذا ربعنا المعادلة السابقة فنحن نتوقع الحصول على معادلة كلين-غوردون وهكذا نستطيع تحديد قيم هذه المعاملات من الشروط التالية :


وهكذا لا يمكن ان تكون هذه المعاملات عبارة عن ارقام صرفة بل يجب ان تكون مصفوفات حتى تتحقق الشروط اعلاه

الان نقوم بضرب المعادلة الثانية من جهة اليسار فى بيتا لنحصل على


ولكن من المعادلة فى السطر الثالث نعلم ان مربع بيتا يساوى واحد (مصفوفة الوحدة) وهكذا يكون لدينا

الان بأخذ حاصل جمع عناصر القطر الرئيسى (Trace) للمعادلة الاخيرة نجد ان


مما يعنى ان مجموع عناصر القطر الرئيسى diagonal فى الفا يساوى صفر و لما كان مربع الفا يساوى مصفوفة الوحدة unit matrix فيجب ان تكون القيم الذاتية eigenvalues لالفا تساوى اما 1 او -1 وهكذا يستحيل ان يساوى مجموع عناصر القطر الرئيسى صفراً الا اذا كانت المصفوفة الفا مصفوفة مربعة من رتبة زوجية 2 او 4 او ....
نفس الامر سوف ينطبق على المصفوفة بيتا (وهذا واضح اذ ما قمنا بضرب المعادلة فى السطر الثانى من جهة اليسار فى الفا بدلاً عن بيتا)

ولكن المصفوفات التى لها رتبة ثانية (صفين فى عمودين) وتحقق اللا تبادلية noncommutativity (ظهور اللاتبادلية يعنى اننا نتحدث عن فيرميونات) هى مصفوفات باولى ولكن عدد هذه المصفوفات يساوى 3 مصفوفات واذا اضفنا لها مصفوفة الوحدة فان العدد سوف يصبح اربعة مصفوفات ولكن المشكلة تكمن فى انه لايمكن ان يكون حاصل جمع عناصر القطر الرئيسى لمصفوفة الوحدة ان يساوى صفراً. وهكذا يصبح لدينا احتمال فى ان تكون رتبة المصفوفات الفا و بيتا تساوى اربعة.

و وجد انها تعطى بـ



اى انها مصفوفات عناصرها مصفوفات باولى ( وهذا هو السبب فى ان معادلة ديراك تصف فيرميونات لها اسبين يساوى النصف ) وهكذا طالما ان الفا وبيتا يجب ان تضرب فى الدالة الموجية فهذا يعنى ان الدالة الموجية عبارة مصفوفة عمود بها اربعة صفوف (Spinor)

ملخص ما سبق: عندما تعاملنا مع الزمن كمعامل مستقل عن ابعاد الفضاء (لم نهتم بتماثل لورنتز) حصلنا على معادلة شرودنجر وهى معادلة غير نسبوية ليس للف المغزلى مكان فيها.
وعندما قمنا بجعل الزمن كبعد فى الزمنكان حافظنا على تحويل لورنتز و حصلنا على معادلة كلين-غوردون وهى معادلة نسبوية تصف بوزونات ليس لها لف مغزلى
وعندما افترضنا ان الهملتونيان دالة خطية فى مؤثرات كميات الحركة وجدنا ان معادلات التناسب هذه مع بيتا تحقق علاقات لاتبادلية ( وهى مصفوفات عناصرها مصفوفات باولى الثلاثة ومصفوفة الوحدة) مما يشير الى ان الجسيمات الموصوفة هى فيرميونات لها للف مغزلى زائد او ناقص نصف

ولما كانت الدالة الموجية تظهر يمين هذه المعاملات (مصفوفات من النظام 4 فى 4) فيجب ان تكون الدالة الموجية عبارة عن مصفوفة بها عمود واحد و 4 صفوف وهى ما نسميه بال Spinor فى الفيزياء



رد مع اقتباس