ملتقى الفيزيائيين العرب - عرض مشاركة واحدة - مفاهيم اساسية فى الجبر
عرض مشاركة واحدة
  #6  
قديم 03-12-2010, 21:11
الصورة الرمزية الصادق
الصادق
غير متواجد
فيزيائي مبدع
 
تاريخ التسجيل: Jul 2006
المشاركات: 439
افتراضي رد: مفاهيم اساسية فى الجبر

امثلة على الجبرات

مثال(11)
فئة كل المصفوفات الحقيقية من النوع nXn تشكل فضاءاً اتجاهياً تحت عملية جمع المصفوفات (+) و عملية الضرب القياسي فى الاعداد الحقيقية. والان اذا ارفقنا مع هذا الفضاء الاتجاهي عملية ثنائية اضافية تُعرف بعملية ضرب المصفوفات

فان الفضاء الاتجاهي يصبح عبارة عن جبر خطي دمجي (طبعاُ نسبةً لان ضرب المصفوفات بطبيعة الحال يحقق خاصية الدمج)
و العنصر المحايد لعملية الجمع هو الـ0 (المصفوفة الصفرية)
والعنصر المحايد لعملية الضرب القياسي فى عدد حقيقي هو الـ1
والعنصر المحايد لعملية الضرب المتجهي (عملية ضرب المصفوفات) هو مصفوفة الوحدة I
وهذا المثال يحقق كل شروط الجبر الخطي كما انه يحقق ايضاً الشروط C3 و C4 و لذلك نقول ان فئة المصفوفات الحقيقية تحت عمليات الجمع و الضرب القياسي بعدد حقيقي والضرب المتجهي (ضرب المصفوفات) تشكل جبر خطي دمجي له محايد Linear Associative algebra with identity

مثال(12)

فئة كل المصفوفات الحقيقية المتماثلة Symmetric (المصفوفات المتماثلة هى تلك المصفوفة التى تساوى منقولها transpose) اى التى تحقق

هى عبارة عن عن فصاء خطي جزئي من الفضاء فى المثال السابق
دعنا الان نتأكد ماذا كانت المصفوفات المتماثلة تمثل جبر خطي تحت عملية ضرب المصفوفات ام لا
افترض ان A و B مصفوفات متماثلة اى ان مما يعني انهما تنتميان لفئة المصفوفات المتماثلة
الان ضرب المصفوفتين يعطي مصفوفة ليست بصورة عامة متماثلة

اى لا تحقق شرط الاغلاق C1 للجبر الخطي
ولكن معك ذلك توجد عملية ضرب متجهي اخرى تعرف بـ

تحقق شرط الاغلاق C1 و شرط الثنائية-الخطية C2 مما يجعل فئة المصفوفات المتماثلة تشكل جبر خطي تحت عملية الضرب المصفوفي التماثلي المعرف بالقوس اعلاه
البرهان:

ولما كانت المصفوفات Aو B الى فئة المصفوفات المتماثلة فانها تحقق
وعليه فان

اذن فان ناتج الضرب التماثلي يمثل مصفوفة متماثلة و لذلك فانه ينتمي الى فئة المصفوفات المتماثلة مما يحقق شرط الاغلاق C1

تمرين: برهن ان عملية ضرب المصفوفات التماثُلي هذا يحقق الخاصية الثنائية- الخطية C2

مثال(13)
فئة كل المصفوفات ضد المتماثلة Antisymmetric اى التى تحقق

غير مغلقة تحت عملية ضرب المصفوفات و لكن اذا عرفنا عملية ضرب مصفوفي ضد تماثلي على النحو التالىي


فانها شرط الاغلاق C1 و شرط الثنائية-الخطية C2 مما يجعل فئة المصفوفات الضد متماثلة تشكل جبر خطي تحت عملية الضرب المصفوفي ضد التماثلي المعرف بالقوس اعلاه والذي يسمى بقوس التبادلية

تمرين: برهن تحقق الشروط C1 و C2

ليس من العسير ان نبرهن ان هذا الجبر بصورة عامة ليس له عنصر محايد كما انه لا يحقق خاصية الدمج (اى لا يحقق الشروط C3 و C4)



الان الجبر المُعرف بالضرب ضد التبادلي (علاقة التبادلية) يسمى بجبر ليي Lie Algebra و هذا الجبر يمثل حجر الاساس فى ميكانيكا الكم (حيث ان المؤثرات فى فضاء هيلبرت تحقق جبر ليي) و فى النظرية النسبية (حيث ان تحويلات لورنتز تمثل جبر جزئى من جبر بوينكاري Poincare' Algebra والذي هو عبارة عن جبر لليي )

بالاضافة لخصائص الجبر فان جبر ليي يحقق خاصية الاشتقاق C6 (برهن) اى ان


وهذه الخاصية تُعرف بخاصية الاشتقاق و تكتب بالصورة الشائعة التالية:


التى تسمى بمتطابقة جاكوبي Jacobi's Identity




تم بحمد الله و توفيقه
اللهم علمنا ما ينفعنا وانفعنا بما علمتنا ، وزدنا علماً


رد مع اقتباس