ملتقى الفيزيائيين العرب - عرض مشاركة واحدة - معادلات هاملتون و لاجرانج ... أسئلة حيرتني
عرض مشاركة واحدة
  #5  
قديم 13-03-2008, 13:01
الصورة الرمزية شمس الخواص
شمس الخواص
غير متواجد
فيزيائي نشيط جداً
 
تاريخ التسجيل: Feb 2008
المشاركات: 92
افتراضي رد: معادلات هاملتون و لاجرانج ... أسئلة حيرتني

بسم الله ، الحمد لله الذي لا اله الا هو الحي القيوم والصلاة والسلام على سيدنا ومولانا رسول الله
السلام عليكم ورحمة الله تعالى وبركاته
اخوتي الأعزاء اسمحوا لي بمناقشة موضوعكم هذ
1- صيغتا لاغرانج وهاملتون متكافئتان من الناحية الفيزيائية أي انه يمكنهما حل المسألة الفيزيائية حلا واحدا ، بل وأكثر من ذلك فانه يمكن الحصول على صيغة هاملتون انطلاقا من صيغة لاغرانج بتحويلات تدعى تحويلات لاجندر Legendre والتي تجعل المتغيرات المستقلة في معادلات لاغرانج - احداثيات و سرعات شاملة - الى - احداثيات وعزوم شاملة - كما تستعمل تحويلات لاجندر كذلك في الديناميكا الحرارية لتحويل الطاقة الداخلية للنظام الى الأنثالبية مثلا ، الفائدة الرياضية من مثل هذا التحويل في الفيزياء الكلاسيكية هو تحويل جمل معادلات لاغرانج التفاضلية التي هي معادلات تفاضلية جزئية من الرتبة الثانية الى معادلات تفاضلية جزئية من الرتبة الأولى ، كما هو معروف .
كذلك توجد صيغة أخرى للميكانيكا التحليلية لا تحول كل السرعات الشاملة الى عزوم شاملة - بل بعضها فقط - في عبارة الهاملتوني تدعى صيغة روث Routh وهذا الاختيار يكون بعناية من أجل تبسيط الحساب الرياضي .
2- أول مرة وضعت فيها دالة لاغرانج كانت عن طريق مبدأ الشغل الافتراضي لدالمبرت و مسألة القيود وتكون على ذلك مسألة مماثلة لمعادلات نيوتن لكنها أكثر فاعلية من حيث أنها معادلات سلمية و أنها تعتمد عددا أقل من المتغيرات و كذا استقلال متغيراتها الشاملة أن تكون خطية - الاحداثيات الشاملة يمكن أن تكون احداثيات خطية أو زوايا - كما يمكن الحصول على معلومات ذات أهمية انطلاقا من المعادلات التفاضلية دون المرور الى الحل الصريح - المخفقات Cyclic Coordinates - ، لكن عندما وضع مبدأ تقليل الفعل يمكن الحصول على تأويل ما لدالة لاغرانج :
اولا تجدر الاشارة الى أن المبدأ الاختزالي كان معروفا في الرياضيات قبل الفيزياء بوقت ، و ان فكرة ادخاله في الفيزياء كانت فقط من أجل اعطاء وصف للحركات في الطبيعة بطريقة أكثر شمولا - عدد واحد يكفي لوصف مسار ما -
ثانيا نحول الأن اعطاء بعض التأويل الفيزيائي على الفعل Action S و ذلك على النحو التالي :
ما دام هناك حركات في الطبيعة فانه يرفقها تغير ، و الهدف الاساسي من ادخال مفهوم الفعل هو اعطاء هذا التغير قيما عددية يمكن التعامل معها :من أجل قياس التغير الحاصل في الجملة الفيزيائية بواسطة مفهوم الفعل يجب أن يحقق هذا الفعل ثلاثة أمور الأول أن يتناسب مع الحركة طرديا - فالأنظمة التي تتحرك كثيرا يكون لديها فعل أكبر ، كذلك الفعل لنظام مكون من مجموعة أنظمة جزئية مستقلة - لا تتفاعل فيما بينها - يكون مساويا لمجموع الأفعال الجزئية لهذه الأنظمة ، ثانيها أن هذا الفعل ببنى غالبا مع الزمن اي أنه قد ينقص أو يزيد مع الزمن فيمكن للفعل الحالي أن يعوض فعلا سابقا مثلا ، الثالث يكون الفعل الكلي لجملة مكونة من عناصر تتفاعل فيما بينها أي أنها تمد بعضها بعضا بالحركة أقل مما هو عليه فيما لو كانت هته العناصر لا تتفاعل - كل نظام جزئي يحتفظ بالحركة بداخله فقط ،لا وجود لتبادل زخم ، أو طاقة مع الأجزاء الأخرى -
عندئذ تكون الكمية S= ( T -U ) t
حيث أن ( T -U ) هي القيمة المتوسطة للفرق بين طاقتي الحركة و الكمون للنظام خلال مساره ، ويكون على ذلك t الزمن المستغرق في المسار
بالفعل فكلما كانت طاقة حركة النظام أكبر كلما كان فعله أكبر ، وكذلك ان كان هناك نظام كبير مكون من مجموعة أنظمة صغيرة لا تتفاعل فيما بينها فان الفعل الكلي يساو مجموع الأفعال الجزئية ، كما لا يخفى اعتماد الفعل على الزمن ، وان الأنظمة الجزئية التي لا تتفاعل فيما بينها تمتلك فعلا أكبر من حال كونها متفاعلة - أي تنتقل الحركة من جزء لأخر بواسطة كمون التفاعل -
انه لا يخفي عليكم امكانية الحصول على عبارة رياضية للفعل بتقسيم المجال الزمني الى مجالات متناهية في الصغر و نحسب عندها الفارق بين طاقتي الحركة و التفاعل ثم نقوم بالتجميع - المكاملة - لنحصل على الصيغة المعروفة للفعل
أما مبدأ تقليل الفعل The Principle of Least Action فهو موضوع هنا لانتخاب الطريق الأنسب عندما تكون لدينا معطيات ابتدائية ونهائية محددة تماما أعني الموضع و الزمن الابتدائيين والنهائيين معروفان ، عندئذ يكون مبدأ تقليل الفعل وسيلة لاختيار المسار الحقيقي من بين كل المسارات الأخرى الممكنة .
ملاحظة
ان كون المسار الحقيقي هو ذلك المسار الذي يمتلك فعلا حديا - أدنى أو أقصى - هي الطريقة التي تجعلنا نبحث عن الدالة التي تحققه في معادلة الفعل ، والتي ليست وحيدة ، فدالة لاغرانج اذن ليست الحل الوحيد الذي يحقق S = Min من أجل مسار حقيقي بل هناك دوال أخرى تختلف عنها بضرب في معاملات ثابتة ، أو اضافة اشتقاق كلى بالنسبة للزمن لدالة متعلقة بالاحداثيات والزمن ...... ، لكن ما يجعلنا نختار دالة لاغرانج على الصيغة المذكورة أنفا هو معرفتنا اياها قبلا في مسألة القيود والشغل الافتراضي ونحوهما ، كما أن الحل الذي تقدمه كل تلك الدوال واحد - الأمر أشبه بمسألة شرط المقياس في الكهرومغناطيسية -
السؤال الذي يطرح نفسه الأن : هل كل الظواهر في الطبيعة تخضع لمبدأ تقليل الفعل ؟
و الجواب هو أن الداعم القوي لمبدأ تقليل الفعل تجريبي فقط أي أن تجاربنا كلها لم تجد استثناءا لهذا المبدأ ، فيمكن صياغة قوانين الميكانيكا والبصريات والنظرية النسبية و النظرية الكمية ، اضافة الى النظريات القياسية في فيزياء الجسيمات وفق هذا المبدأ ، وهو ما جر بعضهم الى الاعتقاد بأننا نعيش في العالم الأفضل من بين كل العوالم الممكنة ، وقصة الكون الكسول أو الكون الاقتصادي التي نصها أن التغيرات في الطبيعة تحدث بأقل جهد - فعل - ممكن .
على هذا كله يمكننا القول أن دالة لاغرانج ماهي الا تعبير عن قيمة التغير الذي يحدث خلال وحدة الزمن ، ويكون على ذلك يكون الأثر الذي تصنعه على مدة زمنية معينة مساويا للفعل S الذي يقيس على نحو ما التغير الحاصل للأنظمة الفيزيائية .
افرازات في النظرية الكمية
ان ظهور المبدأ عدم التحديد الشهير و الذي نصه على نحو ما أنه لا يمكننا ملاحظة أي تغير في الطبيعة بدقة أقل من ثابت بلانك المختزل مقسوما على اثنين ، أو نحو هذا الكلام يمكن من اعتبار ثابت بلانك على نحو ما الكم الأساسي للتغير في الطبيعة - اللبنة الأساسية للتغير -
ب- مسألة الهاملتوني وكونه يمثل طاقة النظام المحفوظة ، أقول أنه يجب الحذر من هكذا اعتبارات و التي لا تصدق الا اذا كان نظامنا معزولا عن محيطه الخارجي أو كان تفاعله مع الخارج موصوفا بدالة كمون لا تعتمد على الزمن ، عندئذ كان مبدأ انحفاظ الطاقة مقبولا ، اذ لا تمثل الطاقة في النهاية الا قياسا لقدرة الأنظمة على انتاج الحركات ، ولما كانت هته الأنظمة معزولة عن المحيط الخارجي فهي لا تتبادل معه الحركة بالتالى تبقى طاقتها الكلية منحفظة .
3- مسألة انحفاظ الطاقة ، أو كذلك نسبة تبددها مع الزمن بالنسبة لأنظمة غير معزولة ، و كذا المعادلات التفاضلية التي تحكم دالة لاغرانج عندما يكون النظام غير منحفظ والتي تحوي طرفا ثانيا يمثل أفعال التبدد - قوى الاحتكاك - أعدك أن أحاول ارفاق برهان كاف شاف ان شاء الله لهته المسائل من وجهة النظر الفيزيائية و الرياضية عندما أتمكن من ذلك .
بقيت نقطتان أود التعليق عليها باختصار شديد
- ما طرحه أستاذنا المتفيزق من أننا لا نهتم في ميكانيكا الكم الا بدالة الهاملتوني ، ولا نلقي بالا لدالة لاغرانج
فأقول أن سبب اعتمادنا على الهاملتوني في نظرية الكم ، مبني أساسا على توظيف دالة الموجة كدالة واصفة لحالة النظام الفيزيائي ، ولكي يكتمل هذا الوصف يجب أن تكون دالة الموجة قادرة ليس فقط على وصف حالة النظام في الزمن الحالي بل كذلك قادرة على اعطاء فكرة عنه في الزمن اللاحق أي دالة الموجة في الزمن اللاحق ، وهذا يستلزم معرفتنا لمقدار تغير دالة الموجة مع الزمن - المشتقة الجزئية نسبة للزمن - وعند قيامنا بمحاولة الربط يظهر لنا جليا أن مؤثر التطور هو الهاملتوني ، لمزيد من التفاصيل يمكن الرجوع لكتاب لانداو - ليفشيتز دروس الفيزياء النظرية الجزء الثاث نظرية الكم البند 11
أما دالة لاغرانج فلا يمكن الاستغناء عنها في صياغة نظرية الكم ، خصوصا لارتباط مشتقاتها الجزئية بالنسبة للسرعات الشاملة بالعزوم الشاملة ، فبالتالي يمكن الصعود لعبارة الهاملتوني انطلاقا من دالة لاغرانج خصوصا اذا كانت الاحداثيات الشاملة عبارة عن ممتدات Tensors ذات أعداد عقدية كما هو الحال في النموذج التساهمي للأنوية الذرية ، كما لا يخفى اعتماد النظرية الكمية للحقول Quantum Field Theory على لاغرانج التفاعل .
- أما ماطرحت خلال تدخلك الأخير من مسألة عدم الاهتمام بطاقة التفاعل بين الجسمين خلال حساب دالة لاغرانج ، فهذا مرده الى أن هذا التفاعل في النظرية الكلاسيكية تجاذبي وهو مهمل اذا كانت كتلتان صغيرتان كما هو معروف

والله تعالى أعلم

والسلام عليكم ورحمة الله تعالى وبركاته

تمت بعون الله وحفظه
رد مع اقتباس