[غيداء احمد]

بسم الله الرحمن الرحيم

الله يــعآفيكم .. عندي مادة فيزياء عامة , درس معادلات الابعاد

وابــي حل للاسالة ..ضــروري ..



* استخدم مفهوم نظرية التوافق بين وحدات الكميات وابعادها لغرض التعبير عن الكميات الفيزيائية الآتية, مستخدما الوحدات الرئيسية البسيطة للنظام الدولي(SI).
الطول , المساحة , الحجم , الزمن , السرعة , التسارع , الكتلة , الكثافة النوعية , القوة , القدرة , التردد .



* اشتقاق المعادلات الفيزيائية هو الآخر من أهم فوائد نظرية التوافق بين وحدات الكميات وابعادها , استخدم هذه النظرية لاشتقاق معادلة البندول البسيط , مفترضا أن طول البندول (L) , وكتلة الجسم المعلق (m) , وزمن الذبذبة الواحد (T) , وتسارع الجاذبية الارضية (g)

[حصه ابراهيم]

وانا ابي حل هالاسئله ربي يعافيكم

[غيداء احمد]

.


ويــــنكــم ..

مــآفي أحــد يــساعد

[Abdelrahman Elkhatib]

داية معادلة البندول البسيط ولكي نشتقها بشكل تقريبي يحكم العلاقة بين الجاذبية، طول البندول والزمن الدوري نحتاج لفرض بعض القيود لتسهيل حل المعادلة التفاضلية كما سنبين لاحقاً. سنفرض أن
البندول عبارة ثقل نقطي معلق بخيط.
لايوجد أي قوى مؤثرة غير قوى الجاذبية. معنى ذلك أن نهمل احتكاك البندول مع الهواء واحتكاك رأس الخيط مع محور الدوران.
البندول يتأرجح في مستوى ثنائي الأبعاد وليس في البعد الثالث. هذا يعني أنه يرسم قوساً بين نقطتين وليس قطعاً ناقصاً مثلاً.
زاوية التأرجح صغيرة جداً (أقل من 1 راديان) بحيث تسمح لنا بتطبيق العلاقة التقريبية بين الزاوية وجيبها (تقريب الزاوية الصغيرة):
sinθ≈θ,lθl≪1 rad
بالطبع هذه العلاقة شهيرة ويمكن إثباتها من النهايات أو من منشور ماكلورين:
sinθ=θ-θ^3/3!+θ^5/5!-…

وذلك بإهمال الحدود فوق الدرجة الأولى.
الآن يمكننا تحليل القوى المؤثرة على البندول كما هو موضح بالشكل المقابل. تكون الزاوية theta هنا مقاسة بالراديان لأجل تحقيق شرط تقريب الزاوية الصغيرة. يشير السهم الأزرق إلى قوة الجاذبية أو وزن الثقل المعلق على البندول ويشير السهمان البنفسجيان إلى مركبتي القوة (المماسية والشعاعية). اتجاه السرعة اللحظية على طول المسار ملون بالأحمر (قوس من دائرة يصنعه البندول) ولذلك فهي تارة باتجاه عقارب الساعة وتارة أخرى باتجاه عكس عقارب الساعة. بتطبيق قوانين اتزان القوى،
F=ma
حيث F تمثل مجموع القوى المؤثرة على الجسم m و a هو مقدار التسارع. إن ما يهمنا حالياً هو التغير في السرعة ولما كان البندول مجبراً على السير في قوس من دائرة، سنطبق قوانين نيوتن على المحور المماسي فقط. يشير السهم البنفسجي القصير إلى مركبة قوة الجذب على المحور المماسي، وبالاستعانة بالتحليل الهندسي نجد أن:
F=-mgsinθ=ma
أي أن
a=-gsinθ
حيث
g هو مقدار التسارع الجذبوي قرب سطح الأرض. تشير الإشارة السالبة بأن كل من الزاوية والتسارع a يعاكسان بعضهما في الاتجاه دائماً بمعنى أن التسارع يزداد حين تتناقص الزاوية بينما يتناقص التسارع بتزايد الزاوية.
لكننا نعلم من قوانين التسارع الزاوي بأنه معدل التغير في السرعة الزاوية بالنسبة للزمن أي أنه المشتقة الثانية للزاوية نسبة للزمن، وبالتالي إذا كان طول البندول (نصف قطر القوس) فإن طول القوس s يكون
s=lθ
وتكون السرعة الخطية،
v= ds/dt=ldθ/dt
ويكون التسارع الخطي (بدلالة التسارع الزاوي)
a= d^2s/dt^2 =ld^2θ/dt^2
وعليه فإن:
d^2θ/dt^2 +g/l*sinθ=0
وهي المعادلة التفاضلية التي تحكم تسارع البندول البسيط وتعرف بمعادلة ماثيو. هناك معادلة أخرى تحكم سرعته ويمكن الحصول عليها من مكاملة هذه المعادلة أو من معادلات الطاقة والوصول إلى:
dθ/dt=√(2*g/l(cosθ-cosθ0))
تعرف هذه المعادلة بالتكامل الأول للحركة. لاحظ أن مشتقتها توصلنا لنفس معادلة ماثيو.
[عدل]تقريب الزاوية الصغيرة
sinθ≈θ,lθl≪1 rad

المعادلة التفاضلية السابقة ليس لها حل أساسي بسيط ولكن إذا كانت زاوية تأرجح البندول صغيرة بحيث يمكننا تقريب العلاقة:

عندئذ يمكننا تعويض علاقة التقارب في المعادلة التفاضلية (1) لنحصل على
d^2θ/dt^2 +g/l*sinθ=0

وهي معادلة توافقية شهيرة تصف مذبذب توافقي بسيط. يمكن حل هذه المعادلة بطريقة العامل أو بطريقة تحويل لابلاس والحصول بدلالة الشروط الابتدائية θ(0) = θ0 وdθ/dt(0) = 0، لنحصل على
θ(t)=θ0 cos⁡(√(g/l*t) )θ0≪1
وهي معادلة توافقية بسيطة، دورية تحقق الشرط أي أن دورها الكامل يمكن استخلاصه من التكافؤ:
cos(√(g/l;*t ))=cos(√(g/l*t )+2π)
أي أن دورها الكامل هو:
√((g )/l*T)=2π
وهي العلاقة التي تحكم الزمن الدوري للبندول البسيط بدلالة الجاذبية، طول البندول والزمن الدوري.
T=2π√(l/g) ,lθl≪1 rad

[غيداء احمد]

..

يعطيك الــف عافية

بــس لو الحل مختصر .. D:


السؤال الأول محد عرف حلــه ..!!!

[غيداء احمد]

الله يعافيكم ..

ابــي حل للسؤالين ..ضرووري

ابيه يكون حل وافي وقصير

جزاكم الله الف خيير ..