[martin]

تعتبر ظاهرة الشواش ـ أو الفوضى chaos -
إحدى إفرازات علوم ورياضيات العصر. ظهر هذا المصطلح فى أدبيات العلم عام 1975 فى ورقة بحثية نشرها عالمان هما: Yorke/ Li فى مجلة American Mathematical الشهرية بعنوان «الموجة الثالثة تتضمن شواشا» من الناحية الرياضية فإن نظرية الشواش تعنى مجموعة من الطرق الرياضية والعددية والهندسية التى تمكن الشخص من التعامل مع مشكلات معقدة غير خطية وتلك التى ليس لها حلول عامة صريحة أو لا تضخع لقوانين عامة لحلها. من المعروف أن الكثير من الظواهر الطبيعية يمكن نمذجتها رياضيا وقد مارس الرياضيون وغيرهم من العلماء ذلك من فترات طويلة، بدءا من النمذجة الرياضية لحركة بندول بسيط وحتى نمذجة حركة الكواكب فى المنظومة الشمسية. هناك أمثلة عديدة لنماذج رياضية فى معدلات نمو السكان واكتواريات التأمين على الحياة ودورات الاقتصاد ... ناهيك عن النمذجة الرياضية فى المجالات الهندسية والإلكترونية والحيويات والفضائيات وغيرها من دراسات تتعلق بكائنات متناهية فى الصغر(ميكروية) وأخرى تتعلق بكائنات عملاقة فى الكبر (ماكرويات).


النماذج الرياضية هى المدخل الرئيسى لحل كثير من المشكلات المعقدة، إلا أنه فى كثير من الأحيان تكون النماذج الرياضية شديدة الصعوبة فى حلها حتى مع استخدام الحواسيب فائقة السرعة والدقة حيث تعطى حلولا تقريبية؛ ومن ثم يجد العلماء أنهم غير قادرين على القيام بتنبؤات دقيقة فى إطار الحلول التقريبية وقد ظن الرياضيون أن التطور فى خوارزميات الحل أو إضافة مزيد من البيانات المبدئية المدخلة قد يمكنهم من عمل تنبؤات كاملة الدقة فى ضوء مخرجات مضبوطة إلا أن الخبرة أكدت استحالة ذلك. وقد اكتشف العلماء أن المذنب الحقيقى المتسبب فى عدم الوصول إلى تنبؤات دقيقة هو ظاهرة الشواش، فعندما يكون الشواش جزءا من نموذج رياضى فإن أية حوسبة مهما كانت فائقة فى سرعتها ودقتها لن تقود إلى عمل تنبؤى كامل. المقصود بالشواش أن أى تغير فى الشكل المبدئى للنظام مهما كان صغيرا قد يؤدى إلى تفاوت كبير فى مخرجات النظام مع نهاية المطاف، ويعرف هذا المفعول بأثر الفراشة (BUTTERFLY EFFECT) نسبة إلى أن حركة جناحى الفراشة وهى تحلق فى الجو قد يكون له تأثير على حركة الرياح فى المدى البعيد وربما فى مكان آخر غير الذى كانت تحلق فيه. ويعنى ذلك أن مسارات الأحداث تتباين تباينا كبيرا بسبب اختلافات تبدو ضئيلة فى الشروط الابتدائية للمشكلة المطروحة، الأنشطة الرياضية المتعلقة بظاهرة الشواش هى إحدى مكونات ما يسمى بالرياضيات الديناميكية التى يصفها البعض بأنها رياضيات الألفية الثالثة والتى تناسب عالما يتسم بتعقيدات غير مسبوقة فى التركيب والشكل والوظائف والذى يعيشه إنسان عليه أن يألف النظم المعقدة ويتعامل مع مواقف لايقينية وأحداث عشوائية وتتابعات لاخطية كما يلمس أحداثا تتسع الهوة بين سلوكياتها ومساراتها رغم ضآلة الفروق بين مسبباتها ومثيراتها . قد يبدو للبعض أن موضوعات الرياضيات الديناميكية تصلح فقط للدراسات الجامعية أو العليا، إلا أن بعضها مثل «الشواش Chaos والهندسة الكسرية Fractal Geometry أمكن تبسيطها لتصلح مادة مشوقة ومفيدة ضمن رياضيات المرحلة الثانوية، فدراستها لا تحتاج إلى معلومات رياضية أكثر مما هو متداول فى المناهج الحالية على أن تصاحب باستخدام أدوات تكنولوجية لإجراء العمليات الحسابية والجبرية والهندسية المطلوبة ولعل أهم أداتين لازمتين هما: حاسبة بيانات (Graphic Calculator) وبرمجية لوحة جدولية (spreasd sheet) وهما من الأدوات المتوفرة فى معظم الأحيان. الأنشطة الرياضية لظاهرة الشواش تنمى قدرات الطالب على أن يقوم بتفسيرات متعددة لتمثيلات بصرية متنوعة لذات النموذج الرياضى ، بعضها ينمى القدرة على الربط بين مهارات جبرية وهندسية لمعالجة نفس المشكلة، والتى قد تتطلب استخدام كل هذه المهارات فى نفس الوقت. ونحن فى مصر ـ وفى إطار محاولة تطوير مناهج المرحلة الثانوية ـ نعتقد بإمكانية إدخال بعض الموديولات التى تتضمن أنشطة رياضية مرتبطة بظاهرة الشواش وبموضوع الهندسة الكسرية مما يعطى الطالب صورة عن معارف رياضية متجددة ومشوقة وتوفر له آلية يستخدم فيها مكتسباته من المهارات الرياضية، التقليدية ويتذوق من خلالها وحدة المعرفة الرياضية كما تتيح له إطلالة على بعض تطبيقاتها الحياتية المعاصرة يتعامل من خلالها مع تكرارات خطية وغير خطية ومتسلسلات زمنية ونقاط ومدارات دورية ومرتسمات تشكيلية . جدير بالإشارة إلى أن «الشواش» بمعناه العلمى يختلف عنه بمعناه اللغوى الدارج المتمثل فى قول شيكسبير فى مسرحيته (عطيل) التى يقول فيها «إننى أحبك وعندما لا أحبك فإن الفوضى تعود ثانية»، بينما قد يتفق مع المعنى العلمى المتمثل فى قول العالم إليا بريجوين الحائز على جائزة نوبل فى الكيمياء عام 1977 الذى يقول «يمكننا أن نحصل على النظام والنسقية من رحم الفوضى».

للدكتور وليم عبيد............

martin

[ابو غازي]

السلام عليكم

فعلاً شي جميل

ولكن ما هي الهندسة الكسرية وماهي الظواهر الغير خطية ؟؟

[احساس]

بارك الله فيك martin....
موضوع جدا" رااااائع

[Abofaisal2008]

مشكور أخ مارتن على الإهداء

لكن هذا الموضوع كأي موضوع آخر يحتاج لأسس و مبادئ و أنا أتفق مع أخ وضاح

قبل كل شئ يجب أن نبدأ نناقش الفرق بين الظواهر الخطية و غير الخطية مع إعطاء أمثلة عليها

و ياليت لو نحصل على مقررات رياضيات المرحلة الثانوية في مصر كان تتضح أمور كثيرة

وجزاك الله خيرا

[زاهر1111]

مشكور الله يجزاك ألف خير

[martin]

[fot1]هندسة الكسور..........[/fot1]

هندسة الفراكتال أطلق عليها هندسة كسرية Fractals
وقد توصل العلماء في السبعينيات من القرن العشرين إلى مكون رياضي جدير في الهندسة وأطلق عليه هندسة الفراكتال كما أسماه بذلك مانيلبورت الذي حدد لها مجموعة من المسلمات التي يمكن أن تختص بها الأشكال الفراكتالية دون غيرها في الأنساق الهندسية، وهندسة الفراكتال تبحث في وصف خصائص الأشكال في الطبيعة، ولذلك فهي تهتم بالتحقق من الخصائص الرياضية لبعض الأشكال والظواهر الطبيعية ومحاولة تفسيرها وفقاً لخصائصها الفراكتالية، ولذلك فإن هندسة الفراكتال تربط وبشكل كبير المتعلم لها بالعالم المحيط به، وتغيراً لأشكال في الطبيعة من الجانب الرياضي مما يثري التفكير الرياضي لدى المتعلمين، ويجعل من الرياضيات بيئة للفهم والتفكير اللذين يساعدا المتعلمين على تطوير وظيفة الرياضيات.

«®°·.¸.•°°·.¸¸.•°°·.¸.•°®»....«®°·.¸.•°°·.¸¸.•°°·. ¸.•°®»

مع نهاية القرن العشرين تطور تعليم الرياضيات تطوراً مذهلاً، فانتقل بالمتعلمين من التركيز على حفظ الحقائق وتطبيق الخوارزميات الرياضية إلى اكتشاف قوة الرياضيات ودورها في تنمية تفكيرهم من خلال التطبيقات الحياتية والمجتمعية للرياضيات، ومع التطور التقني والتكنولوجي في السنوات الأخيرة تطور استخدام تكنولوجيا التعليم في تعليم الرياضيات، وبرز ذلك في الأدوار المتعددة لاستخدامات الكمبيوتر من برامج تعليمية متخصصة وكذلك شبكة المعلومات Internet، بالإضافة إلى الأدوار المؤثرة للآلات الحاسبة البيانية ( Graph Calculators) في تنمية مهارات المتعلمين النوعية سواء في جال حل المعادلات والدوال أو معالجة البيانات إحصائياً.

هذا التطور في مجال تعليم الرياضيات أدى إلى توجيه اهتماماً أكبر في بنية الرياضيات المعرفية وعلاقة الرياضيات بمكونات العلوم الطبيعية الأخرى، فالأشياء في الطبيعة لها خصائص الطبيعة ومنها الخصائص الرياضية المكونة لهذه الأشياء ومن هناك كان البحث عن تغير رياضي لتكون الأشياء في الفلك وعلوم البيئة والظواهر الجوية. وعندما فكر مانديلبورت Mandelbrot في أن السحب ليست كرات وأن الجبال ليست مخاريط، والسواحل ليست دوائر فقد بدأ في اكتشاف نوع جديد من التركيب الهندسي البديع أطلق عليه هندسة الفراكتال Fractal Geometry وتعنى بالبحث في المكونات الجزئية للأشكال الرياضية أو الأشياء في الطبيعة وفقاً لمجموعة من الخصائص الرياضية.

ويذكر نايلور (Naylor, 1999) أن الفراكتلات تقدم لنا أشكالاً ذات قيمة جمالية كبيرة وهي ترتبط بشكل مباشر في كيفية تنظيم العالم من حولنا، ومن وجهة نظر معظم معلمي الرياضيات فإنها تفجر طاقات الإبداع والخيال عند المتعلمين، ويعتبر تدريس هندسة الفراكتال ذو أهمية كبيرة في إثراء وتنمية تفكير المتعلمين الذي يعتبر من أهم أهداف تعليم الرياضيات؛ فتنمية الحس المكاني والحدس بالشكل من المحاور التي يرى عبيد (1998) أنها تشكل التوجهات العامة لتعليم الرياضيات في المستقبل، ويذكر أن عالم الهندسة المتواجدة في عالم الحقيقية يتطلب تربيضاً من خلال هندسة حدسية وهندسة تحويلية وهندسة استدلالية وهندسة تحليلية، وهندسة اتجاهية، وإضافة خصائص بتولوجية والتعرف والتعامل مع أنماط هندسية تتكون من إيقاعات تكرارية لوحدات هندسية صغيرة أطلق عليها هندسة كسرية Fractals .

ابتكر مانديلبروت Mandelbrot كلمة فراكتال Fractal لتصف وتشرح العديد من الظواهر الطبيعية، وتأتي كلمة فراكتال من الفعل اللاتيني Franger والذي يعني يفتت أو يكسر، وهذا الفعل يرتبط بوصف الخصائص الطبيعية للأشياء، فهي تبدو "مفتتة" غير مستوية في أشكال مركبة ومعقدة مثل التغيرات المتعرجة جداً لساحل جزيرة.

كما أن كلمة فراكتال تأتي من الكلمة اللاتينية Fiactious وتعني تكسير أو تفتيتي، وهي تصنف مجموعات غي عادية من الخطوط والنقط والتعرجات، وللكمة شقين الأول وهو الفراكتلات الطبيعية وهي الأشكال والأشياء المرتبطة بالطبيعة والمرتبطة بالعلوم، والثاني في الرياضيات والذي يهتم بدراسة مجموعة الفراكتلات التي غالباً يكون لها جذور في نظرية الفوضى Chaoes theory .

ويشير البعض إلى أن مانديلبورت هو مؤسس وواضع خصائص هندسة الفراكتال بالضبط كما وأسس إقليدس Euclid للهندسة الإقليدية وبتجديد مانديلبروت لأهم خصائص هندسة الفراكتال فإن مصطلحاً مثل الهندسة الماندلية (Mandelbort geometry) يمكن قبوله للإشارة إلى هندسة الفراكتال على اعتبار أن الهندية الماندلية تتعامل وفقاً لخصائص فريدة قدمها ماندلبروت في كتابه (The Fractal Geometry of Nature) الذي نشر عام 1983.

هناك عدة تعريفات تصف هندسة الفراكتال:

* يعرفها كلاقام (Clapham) على أنها مجموعة من النقط لا تتكامل أبعادها المتجزئة أو أي مجموعة ذات تركيب مماثل؛ فتعتبر الفراكتلات مجموعة ذات تراكيب غير منتهاة التعقيد، وعادة ما تحتوي على بعض القياسات ذات التشابه، فأي جزء تحتوي داخلها تعبر صورة مصغرة للمجموعة كلها.

* يعرف الفراكتال في القاموس الإلكتروني على أنه نمط هندسي يتكرر على مقاييس تتزايد في الصغر وتؤدي إلى أشكال وأسطح غير منتظمة لا يمكن تمثيلها من خلال خصائص الهندسة الإقليدية www. Dictionary. Com.

* تصف راندي Randi هندسة الفراكتال بأنها هندسة الطبيعة نظراً لارتباطها بالأشياء الطبيعية، وللظواهر الطبيعية.

ويمكن أن تعرف هندسة الفراكتال على أنها تلك التراكيب الهندسية في الأشياء الطبيعية وهذه التراكيب لها خصائص تميزها عن غيرها من الأبعاد الهندسية، وهي بذلك ترتبط ببحث الكسوريات الصغيرة بل المتناهية في الصغر المكونة لتلك الأشياء في الطبيعية.

وقد أصبحت الفراكتلات جزءاً من الرياضيات، فبالإَضافة إلى تقديمها إمكانية تكوين الأشكال والصور بشكل جذاب وجميل فإنها أيضاً تقدم لنا إطاراً نظرياً لتطوير موضوعات أخرى، مثل تمثيل الظواهر الطبيعية كنمو الخلايا البكتيرية أو نمزجة الأشياء مثل النباتات وغيرها.

ونخلص مما سبق إلى وصف هندسة الفراكتال على أنها:

* أشكال هندسية غير منتظمة تتكون من أجزاء غير منتهية متداخلة بمختلف القياسات.

* تلك الصور التي تنتج من تكرار المعادلات اللاخطية.

* أشكال هندسية نتجت أو نمت نتيجة تطبيق بعض القواعد الرياضية عليها، وهذه القواعد تأخذ الشكل الأساسي وتنقله من خطوة إلى خطوة إما بالإضافة إليه أو بتطويره، وهذه العمليات يمكن أن تكرر بعدد غير منته من المرات.

* أشكال هندسية تنتج من تقسيم الشكل الأساسي إلى أجزاء صغيرة، وكل جزء هو صورة مصغرة من الشكل الأساسي



خصائص هندسة الفراكتال:

تتميز هندسة الفراكتال بخصائص أساسية تعطى لها ذلك التركيب الفريدين فروع الهندسة الأخرى ومنها:

(1) خاصية التشابه الذاتي Self- Similarity

(2) خاصية البعد الفراكتلي Fracty Dimension

فعندما تقدم الفراكتلات على أنها أشكال هندسية تنتج من تطبيق نمط هندسي معين على أحد الأشكال الهندسية عدة مرات، فإن خصائص هذه الأشكال تتمثل في التالي:

(1) خاصية التشابه الذاتي:

التشابه بين الأجزاء المكونة للشكل، أي أن الجزء من الكل يشبه تماماً ذلك الكل، فإذا أضفنا جزءاً متكاملاً من الأجزاء المتكونة للشكل الفراكتلي، ثم قمنا بتكبيره عدة مرات فإننا في النهاية سنحصل على الشكل الأصلي. وهناك العديد من المواقع على شبكة الإنترنت التي تقدم لهذه الخصائص، وإن كان موقعاً مثل (www.techlar.com/Fractals/) يقوم بطريقة حركية عن طريقها اختيارنا لأي جزء من الشكل وتكبيره عدة مرات حتى نصل إلى الاقتناع بوجود خاصية التشابه الذاتي للشكل.

(2) خاصية البعد الفراكتلي:

إذا علمنا أنه في الهندسة التقليدية فإن النقطة ترسم في البعد الصفري، أي ليس لها بعد، وأن الخطوط المستقيمة لها بعد واحد، بينما ترسم المربعات والأشكال الهندسية المستوية الأخرى في بعدين، وكذلك نعرف أن المكعب والاسطوانة والكرة ترسم في ثلاثة أبعاد، فما هو البعد الفراكتلي ؟.

إن الأبعاد السابقة في الهندسة الإقليدية لا تعتبر مناسبة مع تركيب الشكل الفراكتلي، فمنحنى كوشKoch مثلاً له أبعاد تقع تقريبا بين 1.26 أي بين 2.1 وهذا يعكس حقيقة أن مجموعة النقط كثيفة يمكن عدها لمنحنى، وكذلك رفيعة جداً لتحسبها كمساحة، ولذلك فإن البعد الفراكتلي أوجد العديد من التطبيقات العملية في تحليل العمليات الفوضوية Chaitic ولذلك فإن البعد الفراكتلي بشكل عام ليس عدد ولا قيمة عددية، ومنحنى الفراكتال يعتبر أحد الأبعاد للأشياء في المستوى الذي له بعدين ويقع بين 2.1 بالمثل كما السطح الفراكتلي Fractly Surfaec له بعدين ويقع بين 3.2 فالقيمة تعتمد على كيفية إنشاء الفراكتال .

أهداف تدريس هندسة الفراكتال:

تدريس الهندسة يهدف إلى إكساب مهارات التفكير الهندسي لدى المتعلمين وكذلك مهارات استخدام أدوات الهندسة للتعبير من خلالها على الأشكال الهندسية وفهم مكوناتها، وتدريس هندسة الفراكتال في التعليم الأساسي يهدف إلى:

(1) إثراء تفكير التلاميذ الهندسي بالمعارف والمهارات المرتبطة بهندسة الفراكتال.

(2) تساعد التلاميذ في وصف الأشكال الطبيعية وصفاً مضبوطاً، لأن الأشكال والأجسام في الطبيعة معظمها غير مضبوطة من غير الشكل مثل المربعات والمثلثات وغيرها، بل لها أشكال هندسية معقدة، فتساعد خصائص هندسة الفراكتال في تحديد وصف مضبوط لها.

(3) تساعد التلاميذ في ربط الرياضيات مع الأشياء في البيئة المحيطة بهم، وذلك من خلال تطبيقات هندسة الفراكتال على مجالات عديدة في فهم أشكال الخلية سواء النباتية أو الحيوانية في الأحياء ومكونات وتراكيب الصخور في علوم الأرض وكذلك في علم الهندسة.

(4) تساعد التلاميذ في فهم الرياضيات ذاتها، وذلك من خلال فهم العمليات التكرارية حيث الحاجة إلى الحسابات الرياضية فيها.

(5) رسم الأشياء الطبيعية من الواقع على شاشات الكمبيوتر.

(6) تعلم مزج الفنون مع الرياضيات، فتتحول المعادلات من مجرد أرقام أو رموز إلى أشكال ورسومات.

(7) إكساب التلاميذ مهارات الاكتشاف في الرياضيات من خلال مهارات ربط الأشكال في الطبيعة بالخصائص الرياضية لهندسة الفراكتال.

(8) تعرف مكونات منظور هندسي جديد لم يألفه التلاميذ في محتوى الرياضيات.

(9) هندسة الفراكتال تبرز الجوانب الجمالية في الرياضيات وهو هدف وجداني يمكن تحقيقه من خلال تعلم هندسة الفراكتال.

الموضوع طويل و لكن لوجه الله و نيل الثواب بعد حصول الفائدة إن شاء الله

لكل الذين يريدون التحدي أنا أكملت دراستي في جامعة كمبرج إحدى أصعب الجامعات في العالم ؟؟؟؟
martin

[martin]

أي أن هندسة الكسور تستخدم المعادلات و ترجعها لترى شكل المعادلة مرسومة بكل فوضوي ( و أقصد مرسومة أي مرسومة )
لتقريب الصورة لديك في البرنامج الميديا بلير إذا المسيقى لا تحتوي على أي صور و تم تشغيلها فستظهر لك شاشة بألوان متعددة أخضر و أصفر و أحمر و .......)

هذه هي الهندسة الكسرية .....
زيادة العلم بركة

martin

[martin]

طرق حسابية متقدمة للهندسة الكيمائية (الظواهر الغير خطية)

نظرية الاستقرار للمعادلات التفاضلية العادية من الدرجة الاولى. طرق الاستمرارية لتحليل التشعب. حلول المتتاليات و الدالات الخاصة. مسائل القيم الحدية الغير الخطية. صياغة مسائل المعادلات التفاضلية الجزئية بانواعها المختلفة. حل هذه المعادلات باستخدام طرق الفروق المنتهية و طرق التعامد. تطبيقات على مسائل الهندسة الكيمائية و مسائل الكيمياء الحيوية.

تم التركيز في السنوات الأخيرة على أنواع جديدة من النماذج الحتمية الغير خطية ، حيث أتضح أنها قادرة على توصيف سلوك عدد كبير من السلاسل الزمنية التي لا تقدر النماذج التقليدية على توصيفها. من بين هذه النماذج نماذج الفوضى ونماذج الكارثة وعدد من النماذج الأخرى. تستمد نظرية الفوضى والكارثة جذورها من الرياضيات والفيزياء. ولا تزال تطبيقاتها في الاقتصاد قليلة ومشتتة. من أهم إسهامات نظرية الفوضى أنها أوضحت بأن المسارات الزمنية معقدة غالبا ما ويمكن تمثيلها بنماذج ديناميكية حتمية مبسطة، بالإضافة لذلك فهناك نوع معين من السلوك يمكن الاعتقاد بأنه عشوائي وفوق قدرة النمذجة لكنه يمكن أن يمثل بنماذج الفوضى. كما انه يوجد نماذج غير خطية أخرى مثل :
- نماذج SETAR: يمثل هذا النظام في صيغة انحدار ذاتي AR يتحول بين نظامين حسب قيمة المتغير موضوع البحث.
- نماذج STAR:تشبه نماذج SETAR ماعدا صيغة التحريك حيث تأخذ الدالة اللوجيستيكية.


martin

[ابو غازي]

السلام عليكم

رائع جداً اخ مارتن على هذا المجهود الطيب جعل الله هذا في ميزان حسناتك

المهم لكن ما هي الظواهر الغير خطيبة مثل ماذا؟؟

بالمناسبة انا عندي مقال ولكن بانجليزية هل من متطوع للترجمة؟؟؟


والسلام عليكم

[martin]

لا مانع أخ وضاح قم بإرسال الموضوع

martin