اثبات روعة لمتباينة الأوساط.

مهند الزهراني · #1 01-08-2009, 19:57

يعلم من درس المتسلسلات والمتتابعات والاحصاء بما يعرف بـ"الوسط الحسابي" و "الوسط الهندسي".

1- الوسط الحسابي لعدة أعداد هو مجموعها على عددها ، مثلا لنرمز للوسط الحسابي للعددينa وb بالرمز x فيكون التعبير عنه بهذه الصيغة:

$x=\frac{a+b}{2}$

وبمثال فيزيائي اذا علمنا السرعة النهائية والسرعة الابتدائية لجسم فمن الممكن معرفت سرعته بهذا العلاقة:
${V}=\frac{v_{f}+v_{o}}{2}$

2- الوسط الهندسي لعددين هو الجذر التربيعي لحاصل ضربها ولنرمز للوسط الهندسي بالرمز y مثلا فتكون صيغته بهذه الطريقة:
$y=\sqrt[]{ab}$

[grade="FF0000 FF6347 FF0000 FF0000"]- اثبات المتباينة:[/grade]

كيف يمكننا اثبات أن الوسط الهندسي لعددين [grade="0000FF 0000FF 0000FF 0000FF"]دائما[/grade]
أقل من أو يساوي وسطهما الحسابي؟

هناك طريقة غاية في الذكاء لاثبات ذلك ، نعلم جميعا أن العبارة التالية صحيحة:
$\frac{\left(\sqrt[]{a}-\sqrt[]{b} \right)^{2}}{2}\geq0$

وذلك لأن حاصل قسمة مربع عدد ما على عدد آخر يستحيل أن يكون سالبا فهو اما موجب أو صفر، بفك التربيع وترتيب الحدود:
$\frac{\left(\sqrt[]{a}-\sqrt[]{b} \right)^{2}}{2}\geq0\Rightarrow\frac{a+b-2\sqrt[]{ab}}{2}\geq0\Rightarrow\frac{a+b}{2}-\frac{2\sqrt[]{ab}}{2}\geq0\Rightarrow\frac{a+b}{2}\geq\frac{2\sqrt[]{ab}}{2}\Rightarrow\frac{a+b}{2}\geq\sqrt[]{ab}$
صعبة لكن جميلة ، أليس كذلك

_03bad_1:

لجنة مختبر الفيزياء · #2 01-08-2009, 20:18

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
طريقة رائعة وغريبة
سلمت يداك

The Arabic Physicist · #3 01-08-2009, 20:54

اثبات رائع تمنيت لو اني عرفته حين دراستي للمتتابعات والمتسلسلات
شكرا جزيلا لك

asem007 · #4 01-08-2009, 21:04

مشكور اخوي مهند يعطيك العافية من جد الرياضيات روعه

متفيزقة مبدعة · #5 02-08-2009, 08:53

ايي اخ مهند مثل ماقلت طريقة الأثبات سهلة وممتعة <<,قلبت الكلام

بصراحة استنتاجه سهل لكن الغريبة انهم مو حاطينه بالمنهج

والوسط الحسابي كان حل وخصوصا في في الأحصاء وانت منت مسبقا في اول ثانوي كان هذا الفصل موجود اخر الكتاب
السمستر الثاني كان الفصل سهل وممتع هههههه كله رسمات احصائية ومنوال وكثير كثير من منحنيات واشياء ثانية تستخدم للأحصاء

كان حلووو هالفصل واللي فيه شرحك للقانون الدرجات مجانية

استنتاجك بسيط وحلو وسهل كمان

شكرا لك مهند

الظاهر المنتدى بيقلب من فيزياء الى استنتاجات رياضيات بفضل مهند على فكرة تقدر تجيب استنتاج العبارة الصحيحة

شكرا لك اخوي

بالتوفيق
تحياتي

ولاء الحكمي · #6 02-08-2009, 09:35

ممكن توضح اكثروتشرحلي بصراحه ما فهمت وياليت بارقام انا ما افهم بالحروف

متفيزقة مبدعة · #7 02-08-2009, 10:06

هناك طريقة غاية في الذكاء لاثبات ذلك ، نعلم جميعا أن العبارة التالية صحيحة:
$\frac{\left(\sqrt[]{a}-\sqrt[]{b} \right)^{2}}{2}\geq0$

وذلك لأن حاصل قسمة مربع عدد ما على عدد آخر يستحيل أن يكون سالبا فهو اما موجب أو صفر، بفك التربيع وترتيب الحدود:
$\frac{\left(\sqrt[]{a}-\sqrt[]{b} \right)^{2}}{2}\geq0\Rightarrow\frac{a+b-2\sqrt[]{ab}}{2}\geq0\Rightarrow\frac{a+b}{2}-\frac{2\sqrt[]{ab}}{2}\geq0\Rightarrow\frac{a+b}{2}\geq\frac{2\sqrt[]{ab}}{2}\Rightarrow\frac{a+b}{2}\geq\sqrt[]{ab}$
صعبة لكن جميلة ، أليس كذلك

_03bad_1:

[/QUOTE]

--------------------------------------------------------------------------------
ممكن توضح اكثروتشرحلي بصراحه ما فهمت وياليت بارقام انا ما افهم بالحروف

راح اشرحها لك شوي
[grade="00008B 008080 008000 008080"] اووكي كوني فهمته راح اشرحلك اياه
سمعي لو عندك كتاب اول ثانوي بتشوفين القانون بالعربي ه قانون نفس اللي قال مهند للوسط الحسابي لكن ماذكره بالضبط ايش اللي فيه والكتاب لو بطلعة من عندي بتصير الحرب العالمية لأنه المستودع كله كتب

المهم هذا القانون ماكان له استنتاج ولاشئ في الكتاب بس كان له طريقة للحساب وحسب ماأذكر كان بعدة درس المنوال على طوول وفيه قوانين للقراءة

والاحصاء كان ممتع الفصل

وبعدها جاب مهند علاقة رياضية <<<الله اعلم من وين طلعها اول مرة اشوفها [/grade]

لكن :s_thumbup:

[grade="00008B 008000 008000 008080"]هو بررلك انو مستحيل يكون مربع العدد اثناء قسمته على عدد يكون سالب وهذا شئ

اكيييد يعني لو كان عندك عدد اي عدد ربعيه وقسميه على كيفك باي عدد كمان

راح تحصلين الناتج مو جب واذا ماكان كذاك راح يكون عدد عشري واي عدد المهم حسب العلاقة الواضحة انه اكبر من الصفر او مساوي له تقريبا يعني للتوضيح ولاء

كان في كتاب ثاني السمستر الاول كان في فصل كامل للجا والجتا كان فيها ستنتاجات كان من بينها

انه القيم لها محدودة اذن هذي العلاقة هي صحيحة <<<لكن مهند جيب لنا الابرهان للعلاقة

وبعدها بتفكين التربيع كما ذكر مهند [/grade]

وبالأخير بيطلع لك علاقة والطرح عملية ليست ابدالية لذلك احنا راعينا هالشئ وفصلنا كل واحد لوحده وبعدها كان عندنا متراجحه يعني متباينة

يعني فيها طرفين علاقتهم اما اصغر او اكبر او يساوي

وبعدها نقلنا الى الطرف الاخر وكانت بأشأرة موجبة وطلعت لنا العلاقة:a_plain111::a_plain111::a_plain111:اللي كتبها مهند بالاخير :a_plain111:

وبس هذا الشرح الكامل لها عذرا على الاطالة اللي مالها داعي
اتمنى انك فهمتي الشرح الفاشل حقي

انا مو ممتازة بالشرح

[grade="00008B 4B0082 008000 4B0082"]بالتوفيق لوولي واذا مافهمتي شئ

سألي مهند تراهو [/grade]:s_thumbup:

[align=left]GK[/align]

مهند الزهراني · #8 02-08-2009, 13:55

جزاكم الله خيرا ، وبالنسبة للوسط الحسابي والهندسي يمكنكم الاطلاع عليه أكثر في فصل المتتابعات والمتسلسلات صف ثالث ثانوي الفصل الأول ، أما الأمثلة العددية فهذه الأمثلة على سبيل المثال لا الحصر.

م1: سيارة بدأت بالتسارع عند سرعة 30م/ث حتى وصلت الى 60م/ث احسب مقدار سرعتها.

ج1: نعلم جيدا قوانين الحركة الخطية ومنها هذا القانون:
$V=\frac{v_{o}+v_{f}}{2}$

حيث $v_{o}$ السرعة الابتدائية.
و $v_{f}$ السرعة النهائية .
وتصبح العملية مجرد ايجاد وسط حسابي بين السرعتين لايجاد السرعة المتوسطة 45م/ث.

بالنسبة للمقدار المربع فلا يمكن أن يكون أي مقدار جبري بعد تربيعه سالبا الا في مجموعة الأعداد المركبة وليسنا بصدد مناقشتها ودائما حاصله موجب أو صفر اذاكان مربع المقدار الجبري = صفر.

مهند الزهراني · #9 02-08-2009, 14:20

وهذا اثبات رياضي بحت اللي يشوفه لن يرى مواضيعي مرة أخرى (صعب جدا):
http://www.mathramz.com/math/arithme...ean_inequality

AL-SHAWA · #10 02-08-2009, 17:48

جميل جدا أخ مهند

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !