سؤال في ميكانيكا الكم

هياء خالد · #1 14-08-2009, 05:35

بسم الله الرحمن الرحيم

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

اخواني اخواتي

ممكن تساعدوني ...

إذا أعطيت المؤثرات التالية :
Ô1 ψ ( ҳ ) = ҳ2 ψ ( ҳ )

Ô2 ψ ( ҳ ) = ҳ d\dҳ ψ ( ҳ )

Ô3 ψ ( ҳ ) = λ ψ* ( ҳ )

Ô4 ψ ( ҳ ) = е ψ ( ҳ )

( Ô5 ψ ( ҳ ) = ∫ dҳ ( ψ ( ҳ ) ҳ

1 / بين هل هذه المؤثرات خطيه أم لا ؟
2 / أوجد قيمة التباديل التالية :
[ Ô1 , Ô2 ]

[ Ô2 , Ô5 ]

انتظركم وبالتوفيق لي ولكم

hesham samir · #2 18-09-2009, 03:16

مش فاهم حاجة

الصادق · #3 19-09-2009, 03:05

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة هياء خالد

بسم الله الرحمن الرحيم

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

اخواني اخواتي

ممكن تساعدوني ...

إذا أعطيت المؤثرات التالية :
Ô1 ψ ( ҳ ) = ҳ2 ψ ( ҳ )

Ô2 ψ ( ҳ ) = ҳ d\dҳ ψ ( ҳ )

Ô3 ψ ( ҳ ) = λ ψ* ( ҳ )

Ô4 ψ ( ҳ ) = е ψ ( ҳ )

( Ô5 ψ ( ҳ ) = ∫ dҳ ( ψ ( ҳ ) ҳ

1 / بين هل هذه المؤثرات خطيه أم لا ؟
2 / أوجد قيمة التباديل التالية :
[ Ô1 , Ô2 ]

[ Ô2 , Ô5 ]

انتظركم وبالتوفيق لي ولكم

السلام عليكم
$\\ \hat{\mathcal{O}}_1\Psi(x)=x^2\Psi(x) \qquad(1)\\ \\ \\ \hat{\mathcal{O}}_2\Psi(x)=x \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\Psi(x) \qquad(2)\\ \\ \\$

$\\ \hat{\mathcal{O}}_3\Psi(x)=\lambda \Psi(x)^{\ast} \qquad(3)\\ \\ \\ \hat{\mathcal{O}}_4\Psi(x)=\rm e^{\Psi(x)} \qquad(4)\\ \\ \\ \hat{\mathcal{O}}_5\Psi(x)=\int dx \Psi(x)x \qquad(5)\\ \\ \\$

لكى نبرهن ما اذا كان المؤثر خطى ام لا نحتاج ان نتأكد ما اذا كان يحقق العلاقة الخطية التالية اما لا

$\hat{\mathcal{O}}}\left(\alpha \Psi(x)+\beta \Phi(x)\right)=\alpha\hat{\mathcal{O}}\Psi(x)+\beta\hat{\mathcal{O}}\Phi(x)\qquad (6)$

دعنا الان نبدأ بالموثر الاول $\hat{\mathcal{O}}_1$ ولنجعله يؤثر على الدالة الموجية الناتجة عن تراكب دالتين موجيتين اى ضرب ثابت فى ابساى ذائد ناتج ضرب ثابت اخر فى فاى ولما كان الموثر الاول $\hat{\mathcal{O}}_1$ هو فقط الضرب فى مربع x فان

$\hat{\mathcal{O}}_1\left(\alpha \Psi(x)+\beta \Phi(x)\right)=x^2\left(\alpha \Psi(x)+\beta \Phi(x)\right)$

بادخال مربع x داخل القوس فى الطرف الايمن

$\hat{\mathcal{O}}_1\left(\alpha \Psi(x)+\beta \Phi(x)\right)=\alpha x^2\Psi(x)+\beta x^2\Phi(x)$

ولكن الحد الاول فى الطرف الايمن من المعادلة الاخيرة يمثل تاثير المؤثر $\hat{\mathcal{O}}_1$ على ابساى والحد الثانى يمثل تاثير المؤثر على فاى (انظر المعادلة (1))

$\hat{\mathcal{O}}_1\left(\alpha \Psi(x)+\beta \Phi(x)\right)=\alpha \hat{\mathcal{O}}_1\Psi(x)+\beta \hat{\mathcal{O}}_1\Phi(x)$

وهذا يبرهن ان $\hat{\mathcal{O}}_1$ مؤثر خطى

يتبع......

الصادق · #4 19-09-2009, 04:12

دعنا الان نرى تأثير المؤثر $\hat{\mathcal{O}}_2$ ولنجعله يؤثر على الدالة الموجية الناتجة عن تراكب دالتين موجيتين ولما كان الموثر $\hat{\mathcal{O}}_2$ هو فقط التفاضل ثم الضرب فى x فان

$\hat{\mathcal{O}}_2\left(\alpha \Psi(x) +\beta \Phi(x)\right )=x\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left(\alpha \Psi(x) +\beta \Phi(x)\right )$

بتوزيع التفاضل داخل القوس ثم الضرب فى x نحصل على

$\hat{\mathcal{O}}_2\left(\alpha \Psi(x) +\beta \Phi(x)\right )=\alpha x\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\Psi(x) +\beta x\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\Phi(x)$

ولكن الحد الاول فى الطرف الايمن يُمثل تاثير $\hat{\mathcal{O}}_2$ على ابساى بينما الحد الثانى يُمثل تاثير $\hat{\mathcal{O}}_2$ على فاى

$\hat{\mathcal{O}}_2\left(\alpha \Psi(x) +\beta \Phi(x)\right )=\alpha \hat{\mathcal{O}}_2\Psi(x) +\beta \hat{\mathcal{O}}_2\Phi(x)$

وهذا يبرهن ان $\hat{\mathcal{O}}_2$ مؤثر خطى

الان المؤثر $\hat{\mathcal{O}}_3$ عندما يوثر على دالة موجية يُعطى المرافق المركب للدالة مضروباً فى لامدا اى ان

$\hat{\mathcal{O}}_3\left(\alpha \Psi(x) +\beta \Phi(x)\right )=\lambda\left(\alpha \Psi(x) +\beta \Phi(x)\right )^{\ast}=\lambda \left(\alpha^{\ast} \Psi(x)^{\ast} +\beta^{\ast} \Phi(x)^{\ast}\right )$

بادخال لامدا داخل القوس

$\hat{\mathcal{O}}_3\left(\alpha \Psi(x) +\beta \Phi(x)\right )= \alpha^{\ast} \lambda\Psi(x)^{\ast} +\beta^{\ast}\lambda \Phi(x)^{\ast}$

ومن الواضح الان ان الحد الاول فى الطرف الايمن يُمثل تاثير $\hat{\mathcal{O}}_3$ على ابساى بينما الحد الثانى يُمثل تاثير $\hat{\mathcal{O}}_3$ على فاى

$\hat{\mathcal{O}}_3\left(\alpha \Psi(x) +\beta \Phi(x)\right )= \alpha^{\ast} \hat{\mathcal{O}}_3\Psi(x) +\beta^{\ast}\hat{\mathcal{O}}_3 \Phi(x)$

وطالما ان هذه العلاقة لا تحقق المعادلة (6) ( الا فى حالة كانت الثوابت الفا وبيتا اعداد حقيقية) فان المؤثر $\hat{\mathcal{O}}_3$ مؤثر غير خطى

يتبع......

الصادق · #5 19-09-2009, 05:48

المؤثر $\hat{\mathcal{O}}_4$ :
الان بعدما اتضحت الفكرة العامة سوف نكرر نفس الخطوات السابقة

$\\ \hat{\mathcal{O}}_4\left(\alpha \Psi(x) +\beta \Phi(x)\right )= \rm e^{\left(\alpha \Psi(x) +\beta \Phi(x)\right )}=\left( \rm e^{\Psi(x)}\right )^{\alpha}\left( \rm e^{\Phi(x)}\right )^{\beta}\\ \\ \hat{\mathcal{O}}_4\left(\alpha \Psi(x) +\beta \Phi(x)\right )= \left( \hat{\mathcal{O}}_3\Psi(x)\right )^{\alpha}\left( \hat{\mathcal{O}}_3\Phi(x)\right )^{\beta} \neq \alpha \hat{\mathcal{O}}_4\Psi(x) +\beta\hat{\mathcal{O}}_4 \Phi(x)$

اى ان المؤثر $\hat{\mathcal{O}}_4$ غير خطى

اخيراً المؤثر $\hat{\mathcal{O}}_5$

$\\ \hat{\mathcal{O}}_5\left(\alpha \Psi(x) +\beta \Phi(x)\right )=\int dx \left(\alpha \Psi(x) +\beta \Phi(x)\right )x \\ \\ \hat{\mathcal{O}}_5\left(\alpha \Psi(x) +\beta \Phi(x)\right ) =\alpha \int dx \Psi(x)x+\beta \int dx \Phi(x)x \\ \\ \hat{\mathcal{O}}_5\left(\alpha \Psi(x) +\beta \Phi(x)\right ) = \alpha \hat{\mathcal{O}}_5 \Psi(x)+\beta \hat{\mathcal{O}}_5 \Phi(x)$

وهكذا فان المؤثر $\hat{\mathcal{O}}_5$ مؤثر خطى

التبادلية $[\hat{\mathcal{O}}_1, \hat{\mathcal{O}}_2]$ :

لكى نوجد قيمة التبادلية نحتاج ان نوجد تاثيرها على دالة موجية ما و لتكن الدالة ابساى

$[\hat{\mathcal{O}}_1, \hat{\mathcal{O}}_2]\Psi(x)=\hat{\mathcal{O}}_1\hat{\mathcal{O}}_2\Psi(x)- \hat{\mathcal{O}}_2\hat{\mathcal{O}}_1\Psi(x)$

بتعويض الموثرات $\hat{\mathcal{O}}_1$ و $\hat{\mathcal{O}}_2$ من المعادلات (1) و (2) نحصل على

$[\hat{\mathcal{O}}_1, \hat{\mathcal{O}}_2]\Psi(x)=x^2 x \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\psi(x)- x\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}x^2\psi(x)=x^3\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\psi(x)-x\left(x^2\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\psi(x)+2x \Psi(x) \right )$

حيث قمنا فى الحد الثانى بتفاضل حاصل ضرب دالتين. الان بادخال x داخل القوس فى الحد الثانى فى الطرف الايمن من المعادلة الاخيرة
$[\hat{\mathcal{O}}_1, \hat{\mathcal{O}}_2]\Psi(x)=x^3\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\psi(x)-\left(x^3\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\psi(x)+2x^2 \Psi(x) \right )=-2x^2\Psi(x)$

بحذف ابساى من طرفى المعادلة الاخيرة نحصل على ناتج التبادلية

$[\hat{\mathcal{O}}_1, \hat{\mathcal{O}}_2]=-2x^2$

اى ان هذه التبادلية تساوى

$[\hat{\mathcal{O}}_1, \hat{\mathcal{O}}_2]= -2\hat{\mathcal{O}}_1$

التبادلية $[\hat{\mathcal{O}}_2, \hat{\mathcal{O}}_5]$ :

$[\hat{\mathcal{O}}_1, \hat{\mathcal{O}}_2]\Psi(x)=\hat{\mathcal{O}}_1\hat{\mathcal{O}}_2\Psi(x)- \hat{\mathcal{O}}_2\hat{\mathcal{O}}_1\Psi(x)$

بتعويض الموثرات $\hat{\mathcal{O}}_2$ و $\hat{\mathcal{O}}_5$ من المعادلات (2) و (5) نحصل على

$[\hat{\mathcal{O}}_2, \hat{\mathcal{O}}_5]\Psi(x)=x\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\int dx \Psi(x) x-\int dx \left(x\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \Psi(x)\right )x$

باستخدام النظرية الاساسية للتكامل (التكامل هو العملية العكسية للتفاضل) فى الحد الاول فى الطرف الايمن

$[\hat{\mathcal{O}}_2, \hat{\mathcal{O}}_5]\Psi(x)=x^2 \Psi(x)-\int dx x^2\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \Psi(x)$

باجراء تكامل بالتجزئية على الحد الثانى فى الطرف الايمن

$[\hat{\mathcal{O}}_2, \hat{\mathcal{O}}_5]\Psi(x)=x^2 \Psi(x)-\left(x^2 \Psi(x)-2\int dx \Psi(x) x\right)=2\int dx \Psi(x) x$

اى ان تاثير التبادلية على ابساى يتناسب مع تاثير المؤثر $\hat{\mathcal{O}}_5$ انظر المعادلة (5) . ولذلك فان

$[\hat{\mathcal{O}}_2, \hat{\mathcal{O}}_5]\Psi(x)= 2\hat{\mathcal{O}}_5 \Psi(x)$

بحذف ابساى من طرفى المعادلة الاخيرة نحصل على ناتج التبادلية

$[\hat{\mathcal{O}}_2, \hat{\mathcal{O}}_5]= 2\hat{\mathcal{O}}_5$

انتهى

والله اعلم

محمد ابوزيد · #6 19-09-2009, 05:55

اشكرك جدا اخى الصادق
على الرغم من اننى درست الكم عن طريق المؤثرات ولكن كان ذلك من 15 عام
لذا فانا لا اتذكر اى شىء:mommy_cut:

ان شاء الله بعد مشروع الرياضيات
نرى قصة المؤثرات

اخوكم / محمد ابوزيد

محمد ابوزيد · #7 19-09-2009, 05:57

اقترح على الاخت هياء خالد
التفاعل معنا واعطائنا محاضرات فى المؤثرات طالما هى تدرسها الان
اى ان معلوماتها حاضرة
سيساعد ذلك على استيعابها للمنهج
وسيكون بجوارك اخى الصادق واخى رشوان واخى اينشتاين للمساعدة

اخوكم / محمد ابوزيد

الصادق · #8 19-09-2009, 06:03

بارك الله فيك اخى محمد ابوزيد

ان شاء الله بعد مشروع الرياضيات
نرى قصة المؤثرات

ان شاء الله

متفيزقة مبدعة · #9 23-09-2009, 14:00

ماشاء اله اخي الصادق اار الله بصيرتك ولو اني ماني فاهمة حاجة

لكن للأستاذ محمد ابوزيد فقط هذا ارابط ولو انه موكامل لكن لاسترجاع الذكريات

http://www.phys4arab.net/vb/showthre...4+%CC%E4%ED%CF
يعطيكم العافية

hesham samir · #10 27-09-2009, 08:16

بسم الله الرحمن الرحيم
موضوع المؤثرات انا في الحقيقة اود ان ادرس فيه
والسؤال المطروح قد يجعلني افهم ولو جزء ضئيل عن المؤثرات اعتبره مدخل جيد للموضوع
و اعتقد ان اخي ( الصادق ) قد اجاب عن السؤال ولكن الموضوع حقا يحتاج الي ترتيب
شكرا لك اخي الصادق وجزاك الله عنا خيرا

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !