[@سعوديه@]

الفرق بين معادلة هلملتون و لاكرانج

الميكانيكا الكلاسيكية : Classical mechanics)

هي الفرع الأقدم في علم الحيل (الميكانيكا)، وهي تهتم بدراسة حركة الأجسام أو نظم الجسيمات في فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد بالتناغم مع القوانين الفيزيائية للقوى التي تحكم تطور هذه الحركة . توارد مصطلح الميكانيكا الكلاسيكية للدلالة على المنظومة الرياضياتية التي أرساها إسحاق نيوتن، بشكل أساسي، ويوهانز كبلر وغاليليو غاليلي والتي ضلّت السائدة منذ القرن السابع عشر حتى ظهور النسبية والميكانيكا الكمومية في بداية القرن العشرين. في بداياتها تأسست الميكانيكا الكلاسيكية والمشار إليها بالميكانيكا النيوتنية على أساليب التحليل الرياضياتي، ولا سيما الحساب التفاضلي، التي وضعها نيوتن بنفسه بالتوازي مع لايبنتز. وفي ما بعد قام لاغرانج وهاميلتون بإعادة صياغة وتبسيط حسابات الميكانيكا الكلاسيكية وذلك بالاعتماد على أن حركة الجسم تخضع لوجود حد أدنى من


الطاقة الكامنة دون الجوء لمبادئ توازن القوى والتسارع (قانون نيوتن الثاني). وعلى الرغم من أن النظريات الفيزيائية في القرن العشرين قد تجاوزت الرؤية الكلاسيكية، فلا تزال هذه الأخيرة اختصاصاً أكاديمياً أساسياً وموضوع العديد من النظريات (مثل النظم الديناميكية ، التشعب، الشواش ). كما تعتبر الميكانيكا الكلاسيكية أداة العديد من التطبيقات التقنية الحديثة (مثل الهندسة المدنية، الملاحة الفضائية، )

وصف النظريات الأساسية

في الفيزياء، تعتبر الميكانيكا الكلاسيكية إحدى الحقول الرئيسية للدراسة في علم الميكانيكا، التي تهتم بحركاتِ الأجسامِ، والقوى التي تحركهم. أما الحقل الآخر فهو ميكانيك الكم.
طورت الميكانيكا الكلاسيكية تقريباً في السنوات الـ400 منذ الأعمالِ الرائدة ل : براه ، كيبلر ، و غاليلي ، بينما لم يتطور ميكانيك الكم إلا ضمن السنوات الـ100 الأخيرة ، بَدْء بالاكتشافاتِ الحاسمة بنفس الطريقة مِن قبل بلانك ، آينشتاين ، و بور.في المرحلةَ الأولية في تطويرِ الميكانيكا الكلاسيكيةِ في أغلب الأحيان كانت تدعى باسم الميكانيكا النيوتونية ، و تتميز بالطرقِ الرياضية التيِ اخترعتْ مِن قبل نيوتن بنفسه، بالإشتراك مع لايبنتز، وآخرون. هذه توْصف أبعد في الأقسامِ التاليةِ. ملخص أكثر، وتتضمن طرقَ عامة مثل ميكانيكا لاغرانج و ميكانيكا هاميلتون

ميكانيك لاغرانج و ميكانيك هاملتون


هما عبارة عن صياغة ثانية لقوانين الميكانيك الكلاسيكية لا تستعمل الجبر الشعاعي ولكن لهاصفة تحليلية. فقد أدى إكتشاف الحساب التفاضلي إلى توسيع إستخدام الطرق التحليلية لدراسة حركة الأجسام الصلبة

الهملتونيان وهى دالة فى احداثيات عامة وتمثل الطاقة الكلية المحفوظة لاى منظومة فيزيائية و مسار هملتون
وزمرة هملتون فى نظرية المجموعات الرياضيات و فضاء هملتون الاتجاهى الرياضيات ومعادلة هملتون-جاكوب والتى تستخدم فى الفيزياء وفى حساب الاسطح الريمانية فى الرياضيات
الكواتيرنيون Quaternions رياضيات
البايكوتيرنيون Biquaternions الرياضيات
الفرسر versor وهو عبارة عن جزء من دائرة عظمى ذات اتجاه (اى دائرة على سطح ريمانى مركزها هو مركز السطح تسمى دائرة عظمى مثل دوائر الطول والعرض فى الكرة الارضية) تقابل الكوترنيون
والعديد من المبادئ الفيزيائية والرياضية
معادلة هملتون-جاكوب هى معادلة تفاضلية جزيئية غير خطية من الدرجة الاولى فى متغير يسمى بدالة هملتون الاساسية وهى عبارة عن دالة مولدة generating function اما من الناحية الفيزيائية فهى ترتبط بدالة الفعل الكلاسيكية ومعادلة هملتون جاكوب تستخدم لايجاد التغير الزمنى للاحداثيات المعممة generalized coordinates وتستخدم فى حساب التغاير calculus of variations وفى حساب الجيودسك فى الاسطح الريمانية فى الهندسة التفاضلية

ميكانيكا لاجرانج Lagrangian mechanics
عبارة عن إعادة صياغة للمكيانيك الكلاسيكي قدمه جوزيف لويس لاغرانج عام 1788. في ميكانيك لاغرانج ، مسار الجسم يشتق بإيجاد المسلك الذي يقلل الفعل action ، و هو مقدار يعتبر تكامل لكمية ندعوها لاغرانجي Lagrangian على الزمن . اللاغرانجي بالنسبة للميكانيك الكلاسيكي يعتبر الفرق بين الطاقة الحركية و الطاقة الكامنة .
هذا الموضوع يبسط بصورة كبيرة الكثير من المسائل الفيزيائية . مثلا كرة صغيرة في حلقة . إذا قمنا بالحساب على أساس الميكانيك النيوتني ، سيحصل المرء على مجموعة معقدة من المعادلات التي ستأخذ بعين الاعتبار القوى التي تؤثر بها الدوامة على الكرية في كل لحظة .
نفس هذه المسألة تصبح أسها باستخدام ميكانيك لاغرانج . حيث ينظر المرء إلى جميع الحركات الممكنة التي تقوم بها الكرية على الدوامة و يجد رياضيا الحركة التي تقلل الفعل إلى ادنى حد . بالتالي يكون لدينا عدد أقل من المعادلات لأنها لا تمثل حسابا مباشرا لتأثير الدوامة على الكرية عند كل لحظة

الفرق بين معادلة هاملتون و لاكرانج

(1) معادلات هاملتون و لاجرانج نسطتيع بتطبيقها ان نلم بالفيزياء التقليدية من جميع نواحيها.
على اعتبار أن أي منهما تكافئ الأخرى في كونها قادرة على وصف و حل أي نظام فيزيائي.

(2)دالة لاجرانج ودالة هاملتون عبارة عن ادوات رياضية تمكننا من دراسة النظام الفيزيائي و معرفة اكبر قدر من المعلومات عنه ، فنحن نعتبر ان دالة لاجرانج هى الدالة التى يمكنك الحصول منها على كل ما تريد من النظام الفيزيائي ، فهما مثل الدالة الموجية فى ميكانيكا الكم

(3)تعتمد معادلات لاجرانج على مبدأ
The least action principle
و الذي يعني أنه من بين جميع المسارات التي يمكن للجسم المتحرك أن يسلكها فإن المسار الذي يسلكه الجسم من نقطة a إلى نقطة b هو ذلك المسار الذي يجعل تكامل L من a إلى b أكبر ما يمكن.

بينما تعتمد معادلات هاملتون على مبدأ حفظ الطاقة
Conservation of energy
و يعبر عنه بأن تفاضل الطاقة بالنسبة للزمن هو صفر

(4) تعتبرصيغتا لاغرانج وهاملتون متكافئتان من الناحية الفيزيائية أي انه يمكنهما حل المسألة الفيزيائية حلا واحدا ، بل وأكثر من ذلك فانه يمكن الحصول على صيغة هاملتون انطلاقا من صيغة لاغرانج بتحويلات تدعى تحويلات لاجندر Legendre والتي تجعل المتغيرات المستقلة في معادلات لاغرانج - احداثيات و سرعات شاملة - الى - احداثيات وعزوم شاملة - كما تستعمل تحويلات لاجندر كذلك في الديناميكا الحرارية لتحويل الطاقة الداخلية للنظام الى الأنثالبية مثلا ، الفائدة الرياضية من مثل هذا التحويل في الفيزياء الكلاسيكية هو تحويل جمل معادلات لاغرانج التفاضلية التي هي معادلات تفاضلية جزئية من الرتبة الثانية الى معادلات تفاضلية جزئية من الرتبة الأولى ، كما هو معروف

(5) معادلات لاكرانج هى معادلات من الدرجة الثانية
ومعادلات هاملتون هى معادلات من الدرجة الاولى

(6) الهاملتون تعبر عن طاقة النظام ، أقصد مجموع طاقة الحركة وطاقة الوضع
بينما لاكرانج تعبر عن الفرق بين طاقة الحركة و طاقة الوضع

لماذا نهتم فى ميكانيكا الكم بدالة الهاملتون ولا نهتم بدالة لاكرانج

من أننا لا نهتم في ميكانيكا الكم الا بدالة الهاملتوني ، ولا نلقي بالا لدالة لاغرانج
فأقول أن سبب اعتمادنا على الهاملتوني في نظرية الكم ، مبني أساسا على توظيف دالة الموجة كدالة واصفة لحالة النظام الفيزيائي ، ولكي يكتمل هذا الوصف يجب أن تكون دالة الموجة قادرة ليس فقط على وصف حالة النظام في الزمن الحالي بل كذلك قادرة على اعطاء فكرة عنه في

الزمن اللاحق أي دالة الموجة في الزمن اللاحق ، وهذا يستلزم معرفتنا لمقدار تغير دالة الموجة مع الزمن - المشتقة الجزئية نسبة للزمن - وعند قيامنا بمحاولة
الربط يظهر لنا جليا أن مؤثر التطور هو الهاملتوني , أما دالة لاغرانج فلا يمكن الاستغناء عنها في صياغة نظرية الكم ، خصوصا لارتباط مشتقاتها الجزئية بالنسبة للسرعات الشاملة بالعزوم الشاملة ، فبالتالي يمكن الصعود لعبارة الهاملتوني انطلاقا من دالة لاغرانج خصوصا اذا كانت الاحداثيات الشاملة عبارة عن ممتدات Tensors ذات أعداد عقدية كما هو الحال في النموذج التساهمي للأنوية الذرية ، كما لا يخفى اعتماد النظرية الكمية للحقول Quantum Field Theory على لاغرانج التفاعل .