اثبات روعة لمتباينة الأوساط.

مهند الزهراني · #1 01-08-2009, 19:57

يعلم من درس المتسلسلات والمتتابعات والاحصاء بما يعرف بـ"الوسط الحسابي" و "الوسط الهندسي".

1- الوسط الحسابي لعدة أعداد هو مجموعها على عددها ، مثلا لنرمز للوسط الحسابي للعددينa وb بالرمز x فيكون التعبير عنه بهذه الصيغة:

$x=\frac{a+b}{2}$

وبمثال فيزيائي اذا علمنا السرعة النهائية والسرعة الابتدائية لجسم فمن الممكن معرفت سرعته بهذا العلاقة:
${V}=\frac{v_{f}+v_{o}}{2}$

2- الوسط الهندسي لعددين هو الجذر التربيعي لحاصل ضربها ولنرمز للوسط الهندسي بالرمز y مثلا فتكون صيغته بهذه الطريقة:
$y=\sqrt[]{ab}$

[grade="FF0000 FF6347 FF0000 FF0000"]- اثبات المتباينة:[/grade]

كيف يمكننا اثبات أن الوسط الهندسي لعددين [grade="0000FF 0000FF 0000FF 0000FF"]دائما[/grade]
أقل من أو يساوي وسطهما الحسابي؟

هناك طريقة غاية في الذكاء لاثبات ذلك ، نعلم جميعا أن العبارة التالية صحيحة:
$\frac{\left(\sqrt[]{a}-\sqrt[]{b} \right)^{2}}{2}\geq0$

وذلك لأن حاصل قسمة مربع عدد ما على عدد آخر يستحيل أن يكون سالبا فهو اما موجب أو صفر، بفك التربيع وترتيب الحدود:
$\frac{\left(\sqrt[]{a}-\sqrt[]{b} \right)^{2}}{2}\geq0\Rightarrow\frac{a+b-2\sqrt[]{ab}}{2}\geq0\Rightarrow\frac{a+b}{2}-\frac{2\sqrt[]{ab}}{2}\geq0\Rightarrow\frac{a+b}{2}\geq\frac{2\sqrt[]{ab}}{2}\Rightarrow\frac{a+b}{2}\geq\sqrt[]{ab}$
صعبة لكن جميلة ، أليس كذلك

_03bad_1:

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !