[miss soul]

السلام عليكم ورحمه الله وبركاااته


حابه تفيدوني ..

انا عندي بحث عن الهندسه الكرويه وعناصر البحث

_ المثلثات الكرويه
_ روابط المثلثات الكرويه الرياضيه
_مثلث الوضع الفلكي


وتسليم البحث نهايه هالاسبووع

اتمنى تفيدونييي بالمعلومات باسرع وقت

دورت بكل مكان ماحصلت اللي ابيييه

اتمنى اللي عنده خلفيه مايبخل علي

وجزاكم الله الف خير

[miss soul]

ابي تفيدوني لو سمحتووو

ضروررررري

[Queen *]

اووك دقاايق ووربك بيحلهاا أنتظريني

[Queen *]

المثلث الكروي





حساب المثلثات الكروي قد تم وصفه لأول مرة عام 150م في كتاب لبطليموس الإسكندري يدعى المجسطي. ولقد تطور حساب المثلثات المستوي في القرن الخامس عشر الميلادي على يد الرياضي الألماني يوهان ميلر الذي كان يدعى أيضاً ريجيومونتانوس.
يستخدم حساب المثلثات الكروي لإيجاد أضلاع وزوايا مجهولة لمثلثات تقع على سطح كروي.
ما هو المثلث الكروي
هو المثلث المرسوم على سطح كرةوقوانينه تختلف عنقوانين المثلثات المستوية أي المرسومة على سطح مستوى .
ويتكون المثلث الكروي منثلاثة أضلاع نرمز لهم a,b,c
ويقابل كل ضلع زاوية معينة ويرمز لهمa, b, g
فالضلع a يقابله الزاوية a
والضلع b يقابله الزاوية b
والضلع c يقابلهالزاوية g
ويحسب الأضلاع بوحدات الدرجات والدقائق والثواني وليس بوحدات الأطوال والمسافات
ومجموع زوايا المثلث الكروي أكبر من 180 درجة وأقل من 540 درجة
ومجموع الأضلاع أقل من 360 درجة

وبما أن كلاً من زوايا وأضلاع المثلث الكروي تقاس بالدرجات، فإن قوانين حساب المثلثات الكروي تختلف نوعاً ما عن قوانين حساب المثلثات المستوية وللمثلثات الكروية قوانين كثيرة أشهرها أثنان :
القانون العام وقانون الجيب .

القانون العام هو
(a)Cos (a) = cos (b) cos (c) + sin(b) sin (c) cos
(b)Cos (b) = cos (a) cos (c) + sin(a) sin (c) cos
(g)Cos (c) = cos (a) cos (b) + sin(a) sin (b) cos

قانون الجيب هو
(Sin(a)/sin (a) = sin(b)/sin(b) = sin(g)/sin(c

[Queen *]

تاريخ حساب المثلثات


يعود تاريخ حساب المثلثات إلى أقدم ما دون عن الرياضيات في مصر وبابل، حيث قاس البابليون الزوايا بالدرجات والدقائق والثواني. وحتى عصر اليونانيين، لم يوجد أي تطور ملحوظ في حساب المثلثات، وفي القرن الثاني قبل الميلاد، وضع الفلكي هيباركوس جدول مثلثي لحل المثلثات، حيث بدأ بــ 7.5ْ حتى وصل إلى 180ْ بدرجات مقدارها 7.5ْ، وقد أعطى الجدول لكل زاوية طول الوتر المقابل لهذه الزاوية في دائرة ذات نصف قطر ثابت ر. ومثل هذا الجدول مكافئ لجدول الجيب ، ولم تكن القيمة التي استخدمها هيباركوس لنصف القطر (ر) محددة، ولكن بعد مضي 300 عام استخدم الفلكي بطليموس (ر)= 60 لأن اليونانيين قد أخذوا نظام الأرقام الستينية البابلي. وقد ذكر بطليموس في كتابه المجسطي جدول أوتار لدرجات النصف من صفر إلى 180ْ وهي تعادل (3600 / 1 ) من الوحدة، كما أنه قد شرح أيضا طريقة عمله لجدول الأوتار هذا، وفي عرضه للكتاب ذكر أمثلة عديدة على كيفية استخدام الجدول للتوصل إلى الأجزاء المجهولة من المثلثات من خلال الأجزاء المعروفة، وقد ذكر بطليموس ما يعرف الآن باسم نظرية مينيلوس لحل المثلثات الكروية، ولقرون عديدة كان ما دونه بطليموس في حساب المثلثات المقدمة الأساسية للموضوعات التي يتناولها أي فلكي. وفي نفس عصر بطليموس تقريبا، طور الهنود نظاما لحساب المثلثات يعتمد على دالة الجيب وليس على دالة الوتر التي اعتمد عليها اليونانيون، وعلى عكس الدالة الحديثة، لم تكن دالة الجيب هذه نسبة وإنما كانت ببساطة طول الضلع المقابل للزاوية في مثلث قائم الزوايا ذي وتر ثابت محدد، هذا وقد استخدم الهنود قيما متعددة لوتر المثلث القائم الزاوية. وفي نهاية القرن الثاني الهجري / الثامن الميلادي، ورث الفلكيون المسلمون التراث اليوناني والهندي واستخدموا دالة الجيب، وبحلول نهاية القرن الرابع الهجري / العاشر الميلادي، كانوا قد أكملوا الجيب والدوال الخمس الأخرى، كما وضعوا العديد من النظريات الأساسية في حساب المثلثات تتعلق بكل من المثلثات المستوية والكروية. فقد رأى البيروني أن الفترات المتساوية بين الزوايا لا تقابلها تغيرات متساوية في النسب المثلثية ، فأثبت صحتها بالطرق الهندسية، وقام بعمل جداول للجيب لكل ربع درجة بدلا من الجداول المعروفة آنذاك، وقد قام بإيجاد طول الوتر في دائرة يقابل زواية قدرها 40ْ عند المركز، وكان هدفه إيجاد الأوتار التي تقابل من الدورة الكاملة ثلثها وربعها وخمسها، وقد تمكن من استنتاج قوانين مبسطة لحساب قيم هذه الأوتار فيما عدا وتري السبع والتسع، كما استنتج قوانين لوتر مجموع زاويتين أو الفرق بينهما أو قيمة نصف الزاوية مستخدما طريقة التقريب المتتابع. ثم طور الطوسي من نظريات جيب الزاوية إلى ما هي عليه الآن مستعملا المثلث المستوي، وعمل في ذلك الجداول الرياضية له ، كما قدم قاعدة الأشكال المتتامة وهي الصورة المبسطة لقانون الجيوب الذي يقضي بأن جيوب الزوايا تتناسب مع الأضلاع المقابلة لها. أما الكاشي فقد حسب جداول جيب الدرجة الأولى، واستخدم ذلك في معادلة ذات الدرجة الثالثة في معادلاته المثلثية ويقول في ذلك: " إذا علم جيب قوس، وأريد معرفة جيب ثلاثة أمثالها، يضرب مكعب ذلك الجيب في أربع ثوان، وينقص الحاصل من ثلاثة أمثاله، فالباقي هو الجيب المطلوب" وصورة ذلك على مايلي: (جا 3س = 4جا س2 - 3جا س). كما توصل المسلمون أيضا إلى المثلث القطبي للمثلثات الكروية، وقد طبقت كل هذه الاكتشافات في أغراض فلكية، واستخدمت كوسيلة مساعدة في حساب الوقت فلكيا، وفي التوصل إلى اتجاه مكة المكرمة لأداء الصلوات الخمس التي فرضتها الشريعة الإسلامية، كما توصل العلماء المسلمون إلى جداول ذات دقة عالية، فعلى سبيل المثال الجداول التي وضعوها للجيب والمماس كانت دقيقة جدا بنسبة أكبر من جزء واحد من 700 مليون. وقد اهتم الطوسي بعلم حساب المثلثات الكروية اهتماما بالغا ووصل فيها شأوا، فكان أول من قدم المتطابقات المثلثية للمثلث الكروي قائم الزاوية. أما ابن يونس فقد ابتكر القانون المعروف في حساب المثلثات (جتا أ جتا ب =2 / 1 [ جتا (أ + ب ) + جتا ( أ- ب)]) الذي يقضي بتحويل عملية الضرب إلى عملية جمع، فكان بذلك واضعا أول حجر في تطوير علم اللوغاريتمات. ولقد اشتغل البتاني بالأعمال الفلكية الموجهة إلى حساب المثلثات، وكان يستخدم الجيوب بانتظ ام مع يقين واضح من تفوقها على الأوتار التي استعملها الإغريق من قبل. وقد أكمل إدخال دوال الظل وظل التمام، وعمل جدولا لظل التمام بدلالة الدرجات على أساس العلاقة (ظتا أ = جتا أ / جا أ). كما عرف العلاقة بين الأضلاع والزوايا في المثلث الكروي العام والتي يعبر عنها بالمعادلة (جتا أ = جتاب. جتا جـ + جا ب. جا جـ). وبعد ذلك، تعرف الغرب على ما صاغه المسلمون في علم حساب المثلثات من خلال ترجمة كتب الفلك العربية وقد بدأت حركة الترجمة في القرن الثاني عشر، وقد كان أول عمل غربي يكتب في هذا الموضوع من تأليف الفلكي والرياضي الألماني يوهان مولر وقد سمى كتابه ريجيو مونتانوس . وفي القرن التالي، توصل الفلكي الألماني جورج يوأخيم المعروف باسم ريتيكس إلى المفهوم الحديث لدوال حساب المثلثات على أنها نسب وليست أطوال خطوط معينة. أما الرياضي الفرنسي فرانسوا فيتي فقد أدخل المثلث القطبي في حساب المثلثات الكروية وقد ذكر الصيغ المتعددة الزوايا للجيب وجيب التمام من خلال قدرة الجيب وجيب التمام. وقد خطا حساب المثلثات خطوات كبيرة إلى الأمام في أوائل القرن السابع عشر على يد عالم الرياضيات الأسكتلندي جون نابير الذي اخترع اللوغاريتمات، كما اخترع أيضا بعض القوانين المساعدة للذاكرة لحل المثلثات الكروية وكذا بعض النسب لحل المثلثات الكروية المائلة. وبعد نصف قرن تقريبا من نشر نابير للوغاريتمات التي وضع أسسها ابن يونس، توصل إسحاق نيوتن إلى حساب التفاضل والتكامل. وكان من ضمن الأساسيات التي اعتمد عليها هذا العمل تقديم نيوتن للعديد من الدالات على أنها متسلسلات لا نهائية في قدرات (س). ومن ثم فقد توصل نيوتن إلى متسلسلة الجيب (س) ومتسلسلة مماثلة لجيب التمام (س) وظا (س). ومع اختراع حساب التفاضل والتكامل، أعيد النظر في تحليل الدوال المثلثية حيث ما زالت تلعب دورا هاما في كل من الرياضيات البحتة والتطبيقية. وأخيرا، وفي القرن الثامن عشر، عرف الرياضي السويسري ليونهارد يولر الدوال المثلثية على أنها أعداد مركبة، وقد أدى هذا إلى أن جعل مادة حساب المثلثات بأكملها تطبيقا واحدا من التطبيقات العملية الكثيرة للأعداد المركبة، وأظهر أن القوانين الأساسية للرياضيات مجرد نتائج لحساب هذه الأعداد.

[Queen *]

النسب المثلثيه

موضوع: النسـب المثلثـية الجمعة فبراير 19, 2010 8:01 pmلقد ترجم العرب كتاب أصول إقليدس ، وزادوا عليه ، حيث قدم ابن الهيثم نظريات ومسائل منها كما قدم البيروني برهانا لمساحة المثلث بدلالة أضلاعه .كما أن الغرب عرفوا هندسة إقليدس عن طريق العرب .

ومن مآثر العرب في حساب المثلثات هو استخدامهم النسب المثلثية الست حيث كشف التباني العلاقة:

جتاأ =جتاب جتاجـ + جاب جاجـ جتاأ ، الخاصة بالمثلث
حيث أن أ ، ب ، جـ تمثل أضلاع المثلث ، أ زاوية أ بالمثلث.
واكتشف جابر بن الأفلح العلاقة : جتاب = جتاب جاأ ، الخاصة بالمثلث الكروي القائم الزاوية في جـ .
كما اكتشف التباني قانون إيجاد ارتفاع الشمس :
س = أجا (90 - أ) ÷ جاأ

وقد اكتشف العرب العلاقات بين الجيب والمماس والقاطع ونظائرهما ، ومعرفة القاعدة الأساسية لمساحة المثلثات وعملوا الجداول الرياضية للمماس والقاطع وقاطع التمام .

وقد حل القباني المعادلة جاس- جتاس =1 ، حيث توصل إلى أن :جاس = س - جذر س2 + 1
وتوصل ابن يونس إلى القانون : جتاس جتاص = !؛2 جتا(س+ص) + !؛2 جتا(س - ص (
أوّل من أسس علم حساب المثلثات هم الفراعنة القدماء عرفوا حساب المثلثات وساعدهم ذلك على بناء الأهرامات الثلاثة،وظل علم حساب المثلثات نوعاً من أنواع الهندسة ،حتى جاء العرب المسلمون وطوروه ووضعوا الأسس الحديثة له لجعله علماً مستقلاً بذاته ،وكان من أوائل المؤسسين لحساب المثلثات ،أبو عبد الله البتاني والزرقلي ونصير الدين الطوسي.

يعود تاريخ حساب المثلثات إلى أقدم ما دون عن الرياضيات في مصر وبابل، حيث قاس البابليون الزوايا بالدرجات والدقائق والثواني. وحتى عصر اليونانيين، لم يوجد أي تطور ملحوظ في حساب المثلثات.

وفي القرن الثاني قبل الميلاد، وضع الفلكي هيباركوس جدول مثلثي لحل المثلثات، حيث بدأ بــ 7.5ْ حتى وصل إلى 180ْ بدرجات مقدارها 7.5ْ، وقد أعطى الجدول لكل زاوية طول الوتر المقابل لهذه الزاوية في دائرة ذات نصف قطر ثابت ر. ومثل هذا الجدول مكافئ لجدول الجيب ، ولم تكن القيمة التي استخدمها هيباركوس لنصف القطر (ر) محددة، ولكن بعد مضي 300 عام استخدم الفلكي بطليموس (ر)= 60 لأن اليونانيين قد أخذوا نظام الأرقام الستينية البابلي. وقد ذكر بطليموس في كتابه المجسطي جدول أوتار لدرجات النصف من صفر إلى 180ْ وهي تعادل !؛0 ؛0 ؛6 ؛3 من الوحدة، كما أنه قد شرح أيضا طريقة عمله لجدول الأوتار هذا، وفي عرضه للكتاب ذكر أمثلة عديدة على كيفية استخدام الجدول للتوصل إلى الأجزاء المجهولة من المثلثات من خلال الأجزاء المعروفة، وقد ذكر بطليموس ما يعرف الآن باسم نظرية مينيلوس لحل المثلثات الكروية، ولقرون عديدة كان ما دونه بطليموس في حساب المثلثات المقدمة الأساسية للموضوعات التي يتناولها أي فلكي. وفي نفس عصر بطليموس تقريبا، طور الهنود نظاما لحساب المثلثات يعتمد على دالة الجيب وليس على دالة الوتر التي اعتمد عليها اليونانيون، وعلى عكس الدالة الحديثة، لم تكن دالة الجيب هذه نسبة وإنما كانت ببساطة طول الضلع المقابل للزاوية في مثلث قائم الزوايا ذي وتر ثابت محدد، هذا وقد استخدم الهنود قيما متعددة لوتر المثلث القائم الزاوية. وفي نهاية القرن الثاني الهجري / الثامن الميلادي، ورث الفلكيون المسلمون التراث اليوناني والهندي واستخدموا دالة الجيب، وبحلول نهاية القرن الرابع الهجري / العاشر الميلادي، كانوا قد أكملوا الجيب والدوال الخمس الأخرى، كما وضعوا العديد من النظريات الأساسية في حساب المثلثات تتعلق بكل من المثلثات المستوية والكروية. فقد رأى البيروني أن الفترات المتساوية بين الزوايا لا تقابلها تغيرات متساوية في النسب المثلثية ، فأثبت صحتها بالطرق الهندسية، وقام بعمل جداول للجيب لكل ربع درجة بدلا من الجداول المعروفة آنذاك، وقد قام بإيجاد طول الوتر في دائرة يقابل زواية قدرها 40ْ عند المركز، وكان هدفه إيجاد الأوتار التي تقابل من الدورة الكاملة ثلثها وربعها وخمسها، وقد تمكن من استنتاج قوانين مبسطة لحساب قيم هذه الأوتار فيما عدا وتري السبع والتسع، كما استنتج قوانين لوتر مجموع زاويتين أو الفرق بينهما أو قيمة نصف الزاوية مستخدما طريقة التقريب المتتابع. ثم طور الطوسي من نظريات جيب الزاوية إلى ما هي عليه الآن مستعملا المثلث المستوي، وعمل في ذلك الجداول الرياضية له ، كما قدم قاعدة الأشكال المتتامة وهي الصورة المبسطة لقانون الجيوب الذي يقضي بأن جيوب الزوايا تتناسب مع الأضلاع المقابلة لها. أما الكاشي فقد حسب جداول جيب الدرجة الأولى، واستخدم ذلك في معادلة ذات الدرجة الثالثة في معادلاته المثلثية ويقول في ذلك: " إذا علم جيب قوس، وأريد معرفة جيب ثلاثة أمثالها، يضرب مكعب ذلك الجيب في أربع ثوان، وينقص الحاصل من ثلاثة أمثاله، فالباقي هو الجيب المطلوب" وصورة ذلك على مايلي: (جا 3س = 4جا س2 - 3جا س). كما توصل المسلمون أيضا إلى المثلث القطبي للمثلثات الكروية، وقد طبقت كل هذه الاكتشافات في أغراض فلكية، واستخدمت كوسيلة مساعدة في حساب الوقت فلكيا، وفي التوصل إلى اتجاه مكة المكرمة لأداء الصلوات الخمس التي فرضتها الشريعة الإسلامية، كما توصل العلماء المسلمون إلى جداول ذات دقة عالية، فعلى سبيل المثال الجداول التي وضعوها للجيب والمماس كانت دقيقة جدا بنسبة أكبر من جزء واحد من 700 مليون. وقد اهتم الطوسي بعلم حساب المثلثات الكروية اهتماما بالغا ووصل فيها شأوا، فكان أول من قدم المتطابقات المثلثية للمثلث الكروي قائم الزاوية. أما ابن يونس فقد ابتكر القانون المعروف في حساب المثلثات (جتا أ جتا ب = !؛2 [ جتا (أ + ب ) + جتا ( أ- ب)]) الذي يقضي بتحويل عملية الضرب إلى عملية جمع، فكان بذلك واضعا أول حجر في تطوير علم اللوغاريتمات. ولقد اشتغل البتاني بالأعمال الفلكية الموجهة إلى حساب المثلثات، وكان يستخدم الجيوب بانتظ ام مع يقين واضح من تفوقها على الأوتار التي استعملها الإغريق من قبل. وقد أكمل إدخال دوال الظل وظل التمام، وعمل جدولا لظل التمام بدلالة الدرجات على أساس العلاقة (ظتا أ = جتا أ / جا أ). كما عرف العلاقة بين الأضلاع والزوايا في المثلث الكروي العام والتي يعبر عنها بالمعادلة (جتا أ = جتاب. جتا جـ + جا ب. جا جـ). وبعد ذلك، تعرف الغرب على ما صاغه المسلمون في علم حساب المثلثات من خلال ترجمة كتب الفلك العربية وقد بدأت حركة الترجمة في القرن الثاني عشر، وقد كان أول عمل غربي يكتب في هذا الموضوع من تأليف الفلكي والرياضي الألماني يوهان مولر وقد سمى كتابه ريجيو مونتانوس . وفي القرن التالي، توصل الفلكي الألماني جورج يوأخيم المعروف باسم ريتيكس إلى المفهوم الحديث لدوال حساب المثلثات على أنها نسب وليست أطوال خطوط معينة. أما الرياضي الفرنسي فرانسوا فيتي فقد أدخل المثلث القطبي في حساب المثلثات الكروية وقد ذكر الصيغ المتعددة الزوايا للجيب وجيب التمام من خلال قدرة الجيب وجيب التمام. وقد خطا حساب المثلثات خطوات كبيرة إلى الأمام في أوائل القرن السابع عشر على يد عالم الرياضيات الأسكتلندي جون نابير الذي اخترع اللوغاريتمات، كما اخترع أيضا بعض القوانين المساعدة للذاكرة لحل المثلثات الكروية وكذا بعض النسب لحل المثلثات الكروية المائلة. وبعد نصف قرن تقريبا من نشر نابير للوغاريتمات التي وضع أسسها ابن يونس، توصل إسحاق نيوتن إلى حساب التفاضل والتكامل. وكان من ضمن الأساسيات التي اعتمد عليها هذا العمل تقديم نيوتن للعديد من الدالات على أنها متسلسلات لا نهائية في قدرات (س). ومن ثم فقد توصل نيوتن إلى متسلسلة الجيب (س) ومتسلسلة مماثلة لجيب التمام (س) وظا (س). ومع اختراع حساب التفاضل والتكامل، أعيد النظر في تحليل الدوال المثلثية حيث ما زالت تلعب دورا هاما في كل من الرياضيات البحتة والتطبيقية. وأخيرا، وفي القرن الثامن عشر.
عرف الرياضي السويسري ليونهارد يولر الدوال المثلثية على أنها أعداد مركبة، وقد أدى هذا إلى أن جعل مادة حساب المثلثات بأكملها تطبيقا واحدا من التطبيقات العملية الكثيرة للأعداد المركبة، وأظهر أن القوانين الأساسية للرياضيات مجرد نتائج لحساب هذه الأعداد.

[Queen *]

علم المثلثات

استعمل في البداية لحساب المساحات من قبل الإغريق 140 ق.م و و استخدموا في ذلك قطر الدائرة .
و قد عرف بطليموس العلاقة التالية :
sin(x+y) = sin x*cos y + cos x*sin y &
a/sinA=b/sinB=c/sinC

ظهر sin في استخدام اريابهاتا (Aryabhata) الهندوسي ، و استخدم كلمة jya للجيب .
أما براهما جوباتا Brhamagupata أعطى نشرة احتوت الجيوب لأي زاوية .
و استخمت كلمة jya بدلا من jiba المأخوذة من الكلمة العربية ( جيب ) و التي ترجمت لكلمة sinus أو fold في اللاتينية .
في سنة 1533 نشر Regiomontanus ملحوظات تتعلق بعلم المثلثات و الدوال العكسية لها .
كما نشر Rheticus كتاب عن علم المثلثات في علم الفلك وذلك سنة 1542
كما كان ادموند جنتر Edmund Gunter أول من استخدم الاختصار للجيب بالشكل المعروف لدينا الآن sin وذلك سنة 1624 .
وكان أول استخدام لجيب الزاوية في الكتب سنة 1643 .. و كان الاستخدام الشائع لـ جا ، جتا في الفلك .
أيضا عرف الفراعنة القدماء حساب المثلثات وساعدهم ذلك على بناء الأهرامات الثلاثة،وظل علم حساب المثلثات نوعاً من أنواع الهندسة ،حتى جاء العرب المسلمون وطوروه ووضعوا الأسس الحديثة له لجعله علماً مستقلاً بذاته ،وكان من أوائل المؤسسين لحساب المثلثات ،أبو عبد الله البتاني والزرقلي ونصير الدين الطوسي.


فقد ترجم العرب كتاب أصول اقليدس ، وزادوا عليه ، حيث قدم ابن الهيثم نظريات ومسائل منها "كيف ترسم مستقيمين من نقطتين مفروضتين داخل دائرة معلومة إلى أي نقطة مفروضة على محيطها بحيث يصنعان مع المماس المرسوم من تلك النقطة زاويتين متساويتين " .

كما قدم البيروني برهانا لمساحة المثلث بدلالة أضلاعه .كما أن الغرب عرفوا هندسة إقليدس عن طريق العرب .

ومن مآثر العرب في حساب المثلثات هو استخدامهم النسب المثلثية الست حيث كشف التباني العلاقة:

جتاأ =جتابَ جتاجَـ + جابَ جاجَـ جتاأ ، الخاصة بالمثلث الكروي المائل
و فيه
أ ، بَ ، جـَ ترمز لأضلاع المثلث
أما أ فترمز للزاوية أ بالمثلث
كما اكتشف قانون إيجاد ارتفاع الشمس .
س = أ جا (90 – أ ) / جا أ
واكتشف جابر بن الأفلح العلاقة : جتاب = جتاب جاأ ، الخاصة بالمثلث الكروي القائم الزاوية في جـ .


وقد اكتشف العرب العلاقات بين الجيب والمماس والقاطع ونظائرهما ، ومعرفة القاعدة الأساسية لمساحة المثلثات الكروية وعملوا الجداول الرياضية للمماس والقاطع وقاطع التمام .

وقد حل القباني المعادلة جاس\جتاس =1 ، حيث توصل إلى أن :

جاس = س \ (جذر س2 + 1)

برع ابن يونس في المثلثات، وله فيها بحوث قيمة ساعدت في تقدم علم المثلثات، فهو أول من وضع قانوناً في حساب المثلثات الكروية، كانت له أهمية كبرى عند علماء الفلك، قبل اكتشاف اللوغاريتمات، إذ يمكن بواسطة ذلك القانون تحويل عمليات الضرب في حساب المثلثات إلى عمليات جمع، فسهل حل كثير من المسائل الطويلة المعقدة.

وتوصل ابن يونس إلى القانون :

جتاس جتاص =1\2 جتا(س+ص) + 1\2 جتا(س – ص(

ويعتبرالبوزجاني أول من أدخل الظلال في حساب المثلثات‏ وحسب جداولها‏,‏ ووضع النسبة المثلثية المعروفة بالظل‏(Tan)‏
واستخدمها في حل المسائل الرياضية‏.‏ وأدخل العمل بالقاطع وقاطع التمام وحسب جداول جيوب الزوايا بطريقة مبتكرة‏,‏ بلغت الغاية في الدقة‏.‏ ولقد أولي المتطابقات المثلثية عناية كبيرة‏.‏ وابتكر عددا كبيرا منها لا يزال يدرس في المدارس والجامعات في أنحاء العالم‏.‏

[Queen *]

الهندسة الكروية هو فرع الهندسة الرياضية الذي يدرس السطح الثنائي البعد للكرة. يعتبر فرعاً من الهندسة اللاإقليدية. هناك تطبيقان عمليان للهندسة الكروية في الملاحة وعلم الفلك. في الهندسة المستوية، النقاط والممستقيمات هي المبادئ الأساسية. على سطح الكرة، تعرف النقاط كالعادة. أما ما يقابل المستقيم على سطح الكرة فهو ما يدعى بأقصر مسافة بين نقطتين، والذي يطلق عليه اسم جيوديسي geodesic. على سطح الكرة يكون مجموع الزوايا الداخلية لأي مثلث دائما أكبر من 180 درجة. إن الهندسة الكروية هي أبسط أشكال الهندسة الإهليليجية، والتي فيها لا يمكن لأي مستقيم أن يكون له من مواز من أي نقطة لا تقع عليه.

[Queen *]

الهندسة الرياضية (الجُومِطرِيا) أحد فروع الرياضيات التي تتعامل مع العلاقات المكانية (الحيزية)، وما يمكن تشكيله من ارتباط نقاط الفراغ لتعطي ما يدعى بالأشكال الهندسية. في البداية كان الرياضيات فرعان فقط : دراسة الأعداد والهندسة، لكن التطورات اللاحقة للرياضيات شهدت نشوء فروع متعددة أهمها الجبر لحقها عملية تداخل الهندسة مع الجبر (تعد عملية حسبنة الهندسة وجبرنة الهندسة حسب مصطلحات رشدي راشد أهم إسهامات العلماء العرب المسلمون في تطوير الرياضيات).
يميّز الناس الفضاء ببعض المعايير الأساسية, أو ما يسمى بالمسلمات, التي تؤسس الهندسة. مثل هذه المسلمات لا تحتاج إلى برهان، لكن يمكن أن تستخدم بالارتباط مع التعاريف الرياضية للنقاط، الخطوط المستقيمة، الأقواس، السطوح، والمساحات للتوصّل إلى استنتاجات منطقيّة. والهندسة الرياضية يطلق عليها علم الفراغات لانها تدرس الهندسة في ابعادها المختلفة. الرياضيات الحديثة شهدت توسعا هائلا في علوم الرياضيات وتفرعت الهندسة لعدة فروع بعضها يتعامل مع فضاءات لاإقليدية.وصلت الهندسة إلى مستويات عالية من التجريد والتعقيد، وأصبحت حقلا تطبيقيا لفروع حديثة من الرياضيات مثل علم الحسبان والجبر التجريدي، لذلك نجد صعوبة في التمييز بين فروع الرياضيات حاليا بعكس ما كان عليه الحال في بدايات البحث الرياضي. (انظر هندسة جبرية)

[Queen *]

يُعْتَقَد بأنَّ هذه الخريطة أحد "الخرائط العالمية" المبكرة، التي تظهر فيها الأمريكتان، والخريطة أصلاً صنعت لتَعزيز الافتخار بالوطنية التركية.
اقترح العلماء الذين درسوا الخريطة بأنها تظهر خطوط العرض بشكل دقيق لكل من الأشرطة الساحلية الأمريكية الجنوبيةِ والأفريقية - وذلك بعد 21 سنة من رحلة كولومبوس Columbus! - (تذكّر، أن كولومبوس لَمْ يكتشفْ أمريكا الشمالية - وإنما فقط الكاريبي! ).
وقد وصف بيري رئيس بخط يده كَيفَ صنع الخريطة من مجموعة من الخرائط القديمة، معززة بالمخططات التي رسمت مِن قِبل كولومبوس نفسه. وهذا الأمر يعزز الفرضية بِأَنَّ هذه الخرائطِ القديمةِ كَانتْ متوافرة لدى كولومبوس وأنها ربما كانت الأساس في رحلته الإستكشافية.
قدمت نسخة من الخريطةِ إلى دبلوماسي في الحكومةِ الأمريكيةِ، حيث بقيت محفوظة لسنوات عديدة كعمل يدوي، حتى كشفت ألغازها في النهاية من قبل الأستاذ تشارلز هـ. هابجود Hapgood ونشرها بين الأوساط العلميةِ في كتابه (خرائط ملوك البحر القدماء). أثناء فحصِ الخريطة، اكتشف هابجود فيها جزءاً من القارة القطبية الجنوبية (Antarctica)(1)، ظهرت خالية من الجليد. هذا التركيب الساحلي، وهو مغطى الآن مرة أخرى بالجليد، تم التحقق منه مؤخراً بواسطة المسح الراداري عن طريق الأقمار الصناعية، عينات الجليد الأساسية المأخوذة من الخط الساحلي أثبتت أن الفترة الأخيرة التي كانت خالية من الجليد تتراوح بين عامي 11000ق.م و4000 ق.م.
إن وعينا التاريخي للملاحة يقول بأن هناك فترة من الزمن كان يستحيل فيها تحديد خط العرض للسفن (الموقع من الشمال إلى الجنوب) في نصف الكرة الجنوبي. ويرجع ذلك إلى أن الطريقة المعروفة كانت تتم من خلال مراقبة زاوية النجمة الثابتة الوحيدة – نجمة قطب الشمال- التي لا يمكن أن ترى في نصف الكرة الجنوبي بسبب انحناء الأرض (curvature of the Earth). على الرغم من هذا العائق، إلا أن هذه الخرائط تظهر تفاصيل مذهلة وتحديداً دقيقاً لخط العرض للعديد من الجزر المعروفة على طول السواحل في الأقاصي الجنوبية للقارة القطبية الجنوبية! وهذا التعارض مع التاريخ جعلها أكثر من مذهلة.
برهن هابجود أن خريطة بيري رئيس مرسومة بطريقة الهندسة المستوية (plane geometry)، تحتوي على خطوط العرض وخطوط الطول بزوايا قائمة كما في "شبكة" تقليدية، ومع ذلك فمن الواضح أنها منسوخة من خريطة أسبق رسمت باستخدام علم المثلثات الكروية (spherical trigonometry)! لم يقتصر الأمر على معرفة واضعي الخارطة المبكرة بكروية الأرض، ولكن كانت لديهم معرفة بمحيطها الحقيقي لمسافة 50 ميلا!.
(أنظرأدناه تجد خريطة مماثلة، مستندة على الإسقاط الكروي والمستعملِ للرحلات الجوية انطلاقاً من القاهرة لتَحديد المسافات واستهلاك الوقود. هذه الخريطة أنتجت باستخدام علم المثلثات الكروي- علم غير معروف بالنسبة للعلماءِ حتى اكتشافه من قبل عالم الرياضيات هيبارخوس Hipparchus) (2)

النتائج الأخرى غير العادية

• تدقيق الخريطة يظهر أن صانعيها عرفوا محيط الكرة الأرضية بدقة في حدود 50 ميلاً.
  
• إن "مركز" الخريطة المصدر انطلق من نظراء للصانعين فيما يعرف الآن بالإسكندرية - مركز الثقافة، وأم الدنيا، أقدم واكبر مكتبة حتى تدميرها من قبل الغزاة المسيحيين.
  
• إن الشريط الساحلي والجزيرة، اللاتي ظهرتا في القارة القطبية الجنوبية لا بد وأن هناك من أبحر إليهما ووصلهما في بعض الفترات الزمنية السابقة لعام 4000 ق.م عندما كانت هذه المناطق خالية من الجليد من العصر الجليدي الأخير.
  
• يشير تعليق بيري رئيس الخاص إلى أن بعض هذه الخرائط كانت من زمن الاسكندر الأكبر (332 قبل الميلاد).

إن خريطة بيري رئيس تعرض غالباً في الحالات التي تسعى إلى إثبات أن الحضارة تقدمت في مرحلة ما، ومن خلال حدث أو بعض الأحداث المجهولة، نتزود بفهم جديد لهذا الهبوط الثقافي الغامض.
إن أقدم حضارة معروفة لدينا، وهي حضارة السومريين في بلاد ما بين النهرين، تظهر من العدم حوالي 4000 ق.م ولكن ليس لها تراث ثقافي ملاحي أو بحري. هم يعملون، على أية حال، ويتكلمون باحترام عن الأجداد الذين كانوا مثل "الآلهة" وكانوا معروفين باسم النيفيليم ((Nefilim)) (3). ولكن هذه قصة أخرى.