الشــــرح الــــوافي لمعــــادلة برنـــــــــولي

الوهج · #1 29-10-2009, 08:36

[align=center]بسم الله الرحمن الرحيم ...

سوف أشــرح معادلة برنولي وسأعتمد في الشرح على الشكل ( 2-3 ) ب صفحة ( 32 ) ....

أولا : وصف الشكل ....

الشكل عبارة عن انبوب في وضع مائل , ذو مقطعين مختلفين في المساحة حيث ان المقطع الاول مساحته أكبر.. وفي وضع مائل وهو اقرب الى سطح الارض ويرتفع عن الارض ارتفاعا قدره ف1, ومساحة مقطعه س1 .....

أما المقطع الثاني ذو المساحة الاصغر وهو طبعا مائل ويرتفع عن الارض مسافة قدرها ف2 وهو اعلى ارتفاعا من المقطع الاول ومساحة مقطعه س2 ...
ملاحظة مهمة :
ف1 أصغر من ف2
ف1 ( ارتفاع المقطع الاول عن السطح )
ف2 ( ارتفاع المقطع الثاني عن السطح )
س1 أكبر من س2
س1 ( مساحة المقطع الاول )
س2 ( مساحة المقطع الثاني )
كمـــــا في الشكـــــل ( 2-3 ) صفحة 32 ... في كتاب الطالب .

ثانيا :
نلاحظ من الشكل أن هناك سرعتان للماء ( السائل ) وهما :
ع1 وهي سرعة الماء في المقطع الاول ذو المساحة الكبيرة
ع2 وهي سرعة الماء في المقطع الثاني ذو المساحة الاقل ,
ولكن من منهما اسرع من الاخرى ؟
من معادلة الاستمرارية
ع1 × س1 = ع2 × س2 = ثابت
نلاحظ ان العلاقة عكسية بين مساحة مقطع الانبوب وسرعة السائل في داخله ... اذا
ع1 هي السرعة الصغــيرة لان الماء يمر في المقطع الاول ذو المساحة الكبيرة
ع2 هي السرعة الكبيرة لان الماء يمر في المقطع الثاني ذو المساحة الاصغر

اذا ع1 < ع2 وهذه النتيجة تخص الشكل ( 2-3 ) صفحة 32 .

ثالثا :

بما أن الماء ( أو المائع بشكل عام ) في حالة حركة خلال كلا المقطعين الاول والثاني ... اذا من البديهي انه يمتلك طاقة حركية حيث :
طح1 = ( 1/2 ) ك ع1^2 ..... ع1^2 تعني مربع سرعة الماء في المقطع الاول

طح1 هي الطاقة الحركية للماء المتحرك خلال المقطع الاول
طح2 = ( 1/2 ) ك ع2^2 ...... ع2^2 تعني مربع سرعة الماء في المقطع الثاني

طح2 هي الطاقة الحركية للماء المتحرك خلال المقطع الثاني
بقي سؤال مهم ... من اكبر طح1 أم طح2 أم هما متساويتان ؟؟

في الواقع طح1 صغيرة لان ع1 صغيرة ( كما ذكرنا في الاعلى )
وبالتالي طح2 اكبر لان ع2 اكبر ...
ملاحظة ...
كتلة المائع الداخل من المقطع الاول ( ك1 ) = كتلة المائع الخارج من المقطع الثاني ( ك2 ) ...... خلال نفس الزمن

اذا الكتلة ليس لها تاثير على مقدار الطاقة الحركية في المقطعين لان الكتل الداخلة والخارجة متساوية ... سيبقى تاثير السرعة فقط كما ذكرت آنــفا.

رابعا :

بما أن ارتفاع المقطعين عن سطح الارض مختلف ... اذا كميتي المــاء في المقطعين يمتلكان طاقة وضع ( كامنة ) حيث :
طك1 = جـ ك ف1
طك1 هي طاقة الوضع ( كامنة ) للماء في المقطع الاول حيث يبلغ ارتفاعه ف1
طك2 = جـ ك ف2
طك2 هي طاقة الوضع ( كامنة ) للماء في المقطع الثاني حيث يبلغ ارتفاعه ف2
بقي سؤال مهم ... من اكبر طك1 أم طك2 أم متساويان ؟؟

في الواقع طك1 هي الآصغر لان ف1 أقل ارتفاعا ( كما ذكرنا سابقا ) وبالتالي فان طك2 أكبر لان ف2 اكثر ارتفاعا عن السطح .

ملاحظة......
الكتلة ليس لها تاثير على مقدار طاقة الوضع في المقطعين لان الكتل الداخلة والخارجة متساوية ... سيبقى تاثير الارتفاع عن السطح فقط كما ذكرت آنــفا.

خامسا :
نــــلاحظ أن .........

الطاقة الحركية و طاقة الوضع في المقطع الاول صغيرة , بينما الطاقة الحركية و طاقة الوضع في المقطع الثاني كبيرة ... اذا بامكاننا وصف ذلك كالتالي :
( طح1 + طك1 ) = قيمة صغيرة
( طح2 + طك2 ) = قيمة كبيرة
وهذا يطرح تساؤل مهم .... وهو هل الطاقة محفوظة بهذا الشكل ؟؟

نلاحظ ان في المقطع الاول مجموع الطاقة الحركية والكامنة اقل من مجموع الطاقة الحركية والكامنة للمقطع الثاني .... فهل الماء استحدث من العدم طاقة واضافها الى مجموع طاقتي الحركة والكامنة في المقطع الثاني ؟؟

من الواضح انه الى الآن هناك تعارض بين قانون حفظ الطاقة وما استنتجنــاه ..... ولكن التعارض سيزول حين نكمل الاستنتاج ان شاء الله .

سادسا :
هــل هناك طاقة أخرى غير الطاقة الحركية والطاقة الكامنة التي تحدثت عنهما ؟؟

في الواقع نعم هناك طاقة اخرى... هي الشغل حيث من المؤكد ان الماء في المقطعين حدثت له ازاحة , ولانه في حالة حركة اذا من الطبيعي ان الماء يمتلك قوة دفع , وحيث أن :

الشغل = ق × ف
ق هي قوة دفع الماء ..
ف هي مقدار الازاحة الحاصلة للماء داخل الانبوب وتساوي طول الانبوب ( بافتراض ان الانبوب مستقيم وليس به تعرجات ).

بما أن ... ( ض = ق / س ) ....... اذا
ق = ض × س ....... بالتعويض عن ق في قانون الشغل نحصل على :

شغ = ( ض × س ) × ف
بما أن الحجم = مساحة مقطع الانبوب ( س ) × المسافة أو[ طول الانبوب ] أو [ الازاحة الحاصلة للماء ] ( ف ) ....
أي أن الحجم ( ح ) = س × ف................ اذا

شغ = ض × ح

سابعا :
حجم الماء الداخل ( ح1 ) = حجم الماء الخارج ( ح2 ) .... هذا الاستنتاج من معادلة الاستمرارية ........ اذا حجم الماء ليس له تاثير على مقدار الشغل الذي يبذله الماء في كلا المقطعين ,

اذا يبقى عامل واحد يؤثر على مقدار شغل الماء في المقطعين وهو الضغط حسب العلاقة ..... شغ = ض × ح
هل الضغط في كلا المقطعين متساوي ؟؟ واذا كان ضغط الماء في كل مقطع يختلف عن الاخر ... فمن من المقطعين يمتلك الضغط الاكبر ؟؟

قـد يقول قائل ... الضغط في المقطع الثاني ( ذو المساحة الاصغر والسرعة الاكبر ) هو الاكبر ... أي أن :
ض2 > ض1 بحجة ان الماء في المقطع الثاني اسرع وبالتالي يكون الضغط اكبر من ضغط المقطع الاول ذو السرعة الاقل .

وهذا القول أثبت خطأه برنولي عام 1738 م حيث وضع مبدأه الشهير :
{ يقل ضغط المائع اذا زادت سرعته }.

.... ويمكن التاكد من صحة المبدأ عند استخدام مقياس فنتوري ... حيث نجد في مقياس فنتوري عند المقطع الضيق والذي ستكون فيه سرعة الماء اكبر لصغر المساحة .. يكون ارتفاع الماء في الانبوب العمودي اقل من الاخر .. ومن المعروف كلما قل ارتفاع الماء قل ضغطه . ( وهذا اثبات لمن يستثني السائل من مبدأ برنولي ويقصره على الغازات فقط ).

اذا حسب مبدأ برنولي :
ض1 > ض2
حيث :
ض1 ضغط الماء في المقطع الاول وهو اكبر لان سرعة الماء فيه أصغركما ذكرنا في الاعلى
ض2 ضغط الماء في المقطع الثاني وهو أقل لان سرعة الماء فيه اكبر كما ذكرنا في الاعلى .
وبالتالي حسب العلاقة شغ = ض × ح ... يكون :
شغ1 > شغ2
حيث :
شغ1 هو الشغل الذي يبذله الماء في المقطع الاول وهو ذو قيمة كبيرة بسبب ضغطه الكبير
شغ2 هو الشغل الذي يبذله الماء ( الشغل المتبقي ) في المقطع الثاني وهو ذو قيمة صغيرة بسبب ضغطه الصغير .

ثامنا :
نـــــلاحظ عند المقطع الاول أن :
1- ( طح1 + طك1 ) = قيمة صغيرة
2- شــــغ1 = قيمة كبيرة

و نـــــلاحظ عند المقطع الثاني أن :
1- ( طح2 + طك2 ) = قيمة كبيرة
2- شــــغ2 = قيمة صغيرة

هذه الملاحظتين تطرح عدة تساؤلات منها :

س/ هناك نقص في قيمة الشغل في المقطع الثاني ... أين اختفى هذا النقص ؟ هل انتهى وفني ؟
س/ هناك زيادة في مجموع ( طح2 + طك2 ) .. فمن أين هذه الزيادة ؟ وهل الماء استحدث طاقة من العدم ؟

في الواقع وبالملاحظة نجد ان الفقد ( النقص ) في قيمة الشغل
شغ1 – شغ2 = مقدار الزيادة في مجموع طاقتي الحركة والوضع.
على سبيل المثــال :
سنفرض ان المقادير في المقطع الاول كالتالي :
شغ1 = 30 جول و ( طك1 + طح1 ) = 20 جول
والمقادير في في المقطع الثاني كالتالي :
شغ2 = 18 جول و ( طك2 + طح2 ) = 32 جول

نجد ان النقص في مقدار الشغل بين المقطعين ( شغ1 – شغ2 ) = 12 جول ....... لاحظ طرحنا الاكبر من الاصغر .

ونجد ان مقدار الزيادة في مجموع طاقتي الحركة والوضع هي
( طك2 + طح2 ) - ( طك1 + طح1 ) = 12 جول ........
لاحظ طرحنا الاكبر من الاصغر .

اذا نلاحظ ان مقدار الفقد في الشغل الذي بذله الماء تحول الى زيادة في مجموع طاقتي الحركة والوضع ( الكامنة ) حيث جزء من مقدار الشغل المفقود ذهب زيادة في الطاقة الحركية والجزء الاخر ذهب زيادة في طاقة الوضع ( الكامنة ) في المقطع الثاني , ومجموع طاقتي الحركة والوضع = مقدار الشغل المفقود .

تاسعا :

يمكن كتابة النتيجة اعلاه على شكل معادلة كالتالي :
شغ1 – شغ2 = ( طح2 + طك2 ) – ( طح1 + طك1 )
بما أن :
شغ1 = ض1 × ح ........ و ......... شغ2 = ض2 × ح
حيث ح الحجم واحد في المقطعين .. أو ان ح1 = ح2 = ح
وكذلك :
طح1 = ( 1/2 ) ك ع1^2 ........ و ........ طح2 = ( 1/2 ) ك ع2^2
طك1 = جـ ك ف1 ......... و .......... طك2 = جـ ك ف2

اذا بالتعويض :
ض1 × ح – ض2 × ح = [( 1/2 ) ك ع2^2 + جـ ك ف2 ] – [( 1/2 ) ك ع1^2 + جـ ك ف1 ]
نضرب السالب داخل القوس لهذا الجزء من المعادلة [( 1/2 ) ك ع21 + جـ ك ف1 ] فتصبح المعادلة كالتالي :
ض1 × ح – ض2 × ح = ( 1/2 ) ك ع2^2 + جـ ك ف2 – ( 1/2 ) ك ع1^2 - جـ ك ف1
بقسمة طرفي المعادلة على ح ...
ض1 × ( ح / ح ) – ض2 × ( ح / ح ) = ( 1/2 ) [ ك / ح ] ع2^2+ جـ [ ك / ح ] ف2 - ( 1/2 ) [ ك / ح ] ع1^2 – جـ [ ك / ح ] ف1
بما ان :
ح / ح = 1
كتلة / حجم = كثافة ..... يعني ك / ح = ث ....... اذا

ض1 – ض2 = ( 1/2 ) ث ع2^2+ جـ ث ف2 - ( 1/2 ) ث ع1^2 – جـ ث ف1

بترتيب المعادلة بحيث نضم ما يخص المقطع اول في طرف وما يخص المقطع الثاني في الطرف الثاني نجد أن :

ض1 + ( 1/2 ) ث ع1^2 + جـ ث ف1 = ض2 + ( 1/2 ) ث ع2^2 + جـ ث ف2

وهذه هي معادلة برنولي .

في الطرف الاول من المعادلة نلاحظ أن مجموع الضغط والطاقة الحركية و طاقة الوضع = مجموع الضغط والطاقة الحركية و طاقة الوضع للطرف الثاني ..

أي ان المجموع السابق لم يتغير أي انه يساوي مقدار ثابت ... فلو اضفنا مقطع ثالث للانبوب في الشكل ( 2-3 ) ب صفحة ( 32 ) بأي مساحة مقطعية نجد انها ستساوي نفس المقدار الثابت ... لان الطاقة محفوظة ,

وللتأكد ... ومن المثال السابق نجد ان :

مجموع الشغل والطاقة الحركية و طاقة الوضع للمقطع الاول = ( 30 + 20 ) = 50 جول
وكذلك مجموع الشغل والطاقة الحركية و طاقة الوضع للمقطع الثاني = ( 18 + 32 ) = 50 جول

هذا والله اعلى واعلم .... وسامحوني على الاطالة المتعمدة حتى يكون الشرح وافيا وشاملا بقدر المستطاع لجميع الاسئلة التي قد يطرحها المعلمين او الطلاب .... واعذروني على القصور ... وأي استفسار يخص الموضوع جاهز ومستعد على ان يكون في نفس الموضوع .[/align]

ناصر اللحياني · #2 29-10-2009, 13:31

ما شاء الله تبارك الله . . . شرح ولا أروع ، تمنيت لو أنني أطلعت على شرحك من قبل ، لأعتمد عليه في شرحي خلال الأسبوع الماضي .

أشكرك أخي الكريم الوهج ... و نرجوا منك أن تتحفنا دوما بشروحاتك مبكرا لتعم الفائدة ... خصوصا ما يتعلق بالديناميكا الحرارية .

يثبّت الموضوع .