[أحمد سعد الدين]

مسائل وحلول

المتتابعات الحسابية والهندسية

[أحمد سعد الدين]

متتابعه حسابيه فيها
ح(س+1) = م ، ح(ص+1)= ك ، ح(ع+1)= ى
اثبت ان
م( ص-ع) +ك(ع- س)+ى(س- ص) =0


نفرض أن الحد الأول للمتتابعة الحسابية = أ ، الأساس = د
إذن :
م = أ + س د
ك = أ + ص د
ى = أ + ع د

م( ص-ع) + ك(ع- س)+ ى(س- ص) =
= (أ + س د)(ص - ع) + (أ + ص د)(ع - س) + (أ + ع د)(س - ص)
= أ[ ص - ع + ع - س + س - ص] + د[ س ص - س ع + ص ع - س ص + س ع - ص ع] = أ × 0 + د × 0 = 0
حيث أ ، د لا تساويان الصفر

[أحمد سعد الدين]

متتابعة غير تقليدية
( 2/ 9 ، 9 ، 2/ 3 ، 3 ، 2 ، 1 ، 0000000)
اذا كان مجموع عدد فردى من تللك الحدود = 283 /3
فما عدد حدودها ؟

المتسلسلة هى متتابعتين هندسيتين :

الأولى : 2 /9 ، 2 /3 ، 2 ، 6 ، 18 ، 45 ، ....
حدها الأول = 2 / 9
الأساس = 3

الثانية : 9 ، 3 ، 1 ، 1 /3 / 1/9 ، ...
حدها الأول = 9
الأساس = 1 /3

نفرض أن عدد الحدود الفردية = 2 ن + 1
فيكون :
عدد الحدود من المتتابعة الأولى = ن + 1
عدد الحدود من المتتابعة الثانية = ن

283 /3 = [ 2 /9 ( 3^{ن + 1} - 1 ) ] / [ 3 - 1 ] + [ 9 ( 1 - (1 /3)^ن) ] / [ 1 - (1 /3) ]

وهى معادلة من الدرجة الثانية فى المتغير 3^ن
وبحلها بالقانون العام ــــ> 3^ن = 243 ، ومنها : ن = 5

فيكون عدد حدود المتسلسلة = 2 ن + 1 = 11 حدا

للتحقق :

عدد حدود المتتابعة الهندسية الأولى = ن + 1 = 6
مجموعها = [ 2 /9 ( 3^6 - 1 ) ] / [ 3 - 1 ] = 728 / 9

عدد حدود المتتابعة الهندسية الثانية = ن = 5
مجموعها = [ 9 ( 1 - ( 1/3)^5 ) ] / [ 1 - ( 1 /3 ) ] = 121 /9

اجمالى المجموع = 728 /9 + 121 /9 = 849 /9 = 283 /3

[أحمد سعد الدين]

متتابعة غير تقليدية
( 3 ، 18 ، س ، 1 ، 12 ، 1/ 2 س ، 1/ 3 ، 8 ، 1/ 4 س ، 0000000 )
اذا كان مجموعها الى اللانهاية = 23.5
فما قيمة س ؟


المتسلسلة تتكون من حدود ثلاثة متتابعات هندسية لانهائية

الأولى : 3 ، 1 ، 1 /3 ، ....
حدها الأول = 3
الأساس = 1 /3
مجموعها= 3 / (1 - (1 /3)) = 4.5

الثانية : 18 ، 12 ، 8 ، ...
حدها الأول = 18
الأساس = 2 /3
مجموعها = 18 / [ 1 - (2 /3) ] = 54

الثالثة : س ، س /2 ، س /4 ، ...
حدها الأول = س
الأساس = 1 /2
مجموعها = س / [ 1 - (1 /2) ] = 2 س

23.5 = 4.5 + 54 + 2 س

ومنها : س = - 17.5

[أحمد سعد الدين]

ح(ن) متتابعة حسابية
ح(6) = 16 ، ح(20) = - 26
أوجد المتتابعة
ثم أوجد مجموع 20 حدا الأولى منها


نفرض أن :
الحد الأول للمتتابعة الحسابية = أ
الأساس = د

ح(6) = أ + 5 د ................... (1)
ح(20) = أ + 19 د ................... (2)
بحل المعادلتين جبريا ، ينتج أن :
د = - 3 ، أ = 31
وتكون المتتابعة : 31 ، 28 ، 25 ، ...

مجموع 20 حدا الأولى = 20 /10 [ 2 × 31 + 19 × - 3 ] = 50

[أحمد سعد الدين]

أربعة أعداد تكون متتابعة حسابية مجموعها 32
الحد الرابع يزيد عن الحد الثانى بمقدار 4
أوجد هذه الأعداد ؟

نفرض أن الأعداد هى : أ ، (أ + د) ، (أ + 2 د) ، (أ + 3 د)

(أ + 3 د) - (أ + د) = 4 ...... ، ومنها : د = 2
4 أ + 6 د = 32 ................ ، ومنها : أ = 5
وتكون الأعداد هى : 5 ، 7 ، 9 ، 11

[زَينَب..~]

بارك الله بك أستاذنا الكبير أحمد ...
لي سؤال ...
متتابعة الأعداد الاولية ...!
لم يوجد لها صيغة عامة لأيجاد الحدود ..
لكن أن ترائى لي أني سمعت انه وجدت متتابعة
نستطيع ايجاد تلك الاعداد الى الحد السبعين من الأعداد الاولية
فهل ذلك صحيح ..وماهي تلك المتتابعة ..!
وشكرا لك على هذه المسائل الجميلة جاري الاطلاع عليها جميعا ..!
بورك العمل ..!

[الحارث]

الله يعطيك الف عافية
مجهود رائع
بارك الله فيك وجزاك كل الخير

[مهند الزهراني]

موضوع قيم كعادتك معلمنا الكبير ،،

موضوع مرجعي يستحق التثبيت ,,

يثبت

[سر الجآذبيه|~]

ججججزاك الله ألف ألف خيييييير
مآآقصصصرت تسسسلم (=