مسائل بسيطة من الاولمبياد العالمي IMO

مهند الزهراني · #1 14-06-2010, 21:46

السلام عليكم ،،،

اليوم معكم كم مسألة بسيطة جات بمسابقات عالمية قديمة ، سهلة وجميلة ،،،

1- أوجد كافة الاعداد الصحيحة التي تحقق ان المقدار التالي يقبل القسمة على 7

$\200dpi 2^n-1$

2- اذا علمت أن
$\200dpi a+b=1 \ ,a,b> 0$

فأثبت المتباينة التالية :
$\200dpi \frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}\geq \frac{1}{3}$

الهَياء · #2 15-06-2010, 00:12

بآرك الله فيك ~

مهند الزهراني · #3 18-06-2010, 00:12

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة •{ هيونآ ✿ ~

بآرك الله فيك ~

يعطيك العافية ، وفكري بحلها <<< نذل :laughter01:

مهند الزهراني · #4 18-06-2010, 00:19

حل السؤال الاول ،،،

يكون المقدار يقبل القسمة على 7 عندما $\200dpi 2^n-1\equiv 0(mod \ 7)\Leftrightarrow 2^n\equiv 1(mod \ 7)$

وباستخدام افكار مماثلة لزمرة باقي القسمة ( لمن لا يعرف بنظرية العدد ) فأن الباقي يكون 1 عندما يكون
$\200dpi n=3k \ :k=1,2,...$

وهو الحل العام والمطلوب ،،،

الان السؤال الثاني فكروا فيه وهو اما باستخدام حقيقة تيتو أو متباينة كوشي - شوارتز

الهَياء · #5 18-06-2010, 00:20

إن ششآء الله إذ1 قدّرت ^^
( جهد مبذول المهند ) ...

مهند الزهراني · #6 18-06-2010, 16:35

المسألة الثانية باستخدام حقيقة تيتو ،،
$\200dpi \frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}\geq \frac{(a+b)^2}{(a+b)+2}=\frac{1}{3} \ (T_2 \ lemma)$

الأُولى · #7 20-06-2010, 00:23

بس راح يكون المقام 2 مش 3

مهند الزهراني · #8 23-06-2010, 11:56

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة الأُولى

بس راح يكون المقام 2 مش 3

اهلا ،،

المفترض أني اجمع المقامات عشان تطلع 3 لكني نسيت ، راح اعدلها ،،

		ملتقى الفيزيائيين العرب > منتديات أقسام الفيزياء > منتدى الرياضيات.
مسائل بسيطة من الاولمبياد العالمي IMO

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !