حفل زفاف ...حبيبتي نهاية

زولديك · #1 23-09-2010, 23:08

بسم الله الرحمن الرحيم

الحمد لله و كفى و الصلاة و السلام على الرسول المصطفى و على آله و صحبه الأبرار و من أقتفى إلى يوم الدين , أما بعد:

كلنا يعلم اهمية علم التفاضل و التكامل في الفيزياء النظرية بل في كثير من العلوم , بل لا يكاد يخلو طالب علم من معلومات عنه و لكن مع الأسف , نجد في أكثر مناهجنا العربية طرق شرح باهتة المنظر ليس فيها أي نوع من العمق و بالتالي, عدم فهم أساسياته , فقد قرات في أحد المننديات , طالبة تقول , لقد تعلمت درس النهايات و قد انتهيت منه , ولكن لا اعرف معنى لها , و ما فائدتها , و ما تطبيقاتها , و تقول تعقيبا , اني لما سألت مدرستي , عن فوائد النهايات قالت الأستاذة بكل بساطة "النهايات بحر طويل , أبحثي في النت" , (شكلها تورطت الأستاذة

) , فقالت بحت فلم اجد شيئا , و هناك الكثير و الكثير من المعاناه , و من ابسط الأمثلة انا أيضا صاحب هذا الموضوع ., فأنا في كل مرة ادرس موضوع , أسئل نفس سؤال , ألا و هو , ما المشاكل التي ادت إلى انتاج هذا العلم او المفهوم الذي ادرس ؟ أعتقد أهم سؤال ممكن ان يسئل إلى طريق الفهم العميق ( بل و الفهم التطبيقي من اجل التطبيق) , هذا السؤال , فالنهاية تعتبر المدخل الرئيسي , لإمبراطورية التفاضل و التكامل , و هي من أبرز الافكار التي تميزه عن غيره من باقي فروع الرياضيات مثل الهندسة و الجبر , "و هي شهادة على عبقرية العقل البشر" , هذا والله أسئل ان يوفقني لأشرح هذا المفهوم , و لي اجل ان يستفيد منه كل من يريد ان يتعلم التفاضل و التكامل بفهم عميق , فبسم الله نبدأ :

في القرن السابع عشر تم إعلان زواج "عقل" من "نهاية" وكان صاحب عقد هذا القٍران الفذ السير "إسحق نيوتن" و كان لهذا الخبر الأثر البارز على الإمبراطور "رياضيات" في تغير منهج حياته , و امتداد سلطته و نفوذه ,لا بل و جماله , فقط كان لهذا الإمبراطور الكثير من المشاكل , قد اثرت على حياته سلبا , و من هذي المشاكل , عدم فهمه لبناته "دوال" , و خاصة منها التي تدعى "الكسرية" , اما بالنسبة لنفوذه , فقد اتسعت لتشمل الكثير من الأبناء , الذين كانوا لديهم نوع من التحفظ من الإمبراطور"رياضيات" , مثل أبنته "ميل"التي قد أثارت مشاكل مع ابيها "رياضيات ", عندما تعرفت على الشاب "مماس" , فقط كان الإمبراطور يحبذ , لأبنته ان تكون مع الشاب "منحنى" , و ليس "مماس" , ولكن على حد تعبير "ميل" قالت , لقد مملت مما انا فيه ,محدودة بــ"منحنى" , فانا لا أريد التقيد به "منحنى" و الحصر بل الشمول , و الحرية ,و قد رأيت ان مماس مفيد لي , وتقول أيضا , أيها الإمبراطور"رياضيات" قد اجبرت على ما انا فيه بالتعرف على الشاب "منحنى" , فقد كنت أعمل في كثير من المؤسسات ( الأستاتيكا _الطفو_الهندسة _الديناميكا") , و لكن قد دعيت من قبل مؤسسات تريد مني عملا آخر , و قد أضطررت إلى التعرف على "مماس", ( نكمل مشوارنا مع الزوجان عقل و نهاية ) , بعد تمام هذا الزواج تم إنجاب الإبن البكر "تفاضل" , و من ثم الإبن "تكامل" , وقد كان الزوجان , سعيدان بإبنيهما , و قد كانا يرقبان أبنيهما , لحظة بلحظة , و يوما بيوما , يكبران على أيدي عباقرة كبار امثال " لويس لاجرانج _غتفيرد لابنتز_جاوس_ريمان_ليوناردو أويلر_كوشي_بروك تايلور__هنري بوانكاريه_فورييه_سيمون لابلاس_بسل_جاكوبي....و الكثير " , هذا و قد كان الزوجان سعيدان عندما تم ـستدعائهما من قبل العالم ريمان
من أجل أن يعملوا في شركته "الهندسة الريمانية",و العالم جاوس في شركته "الهندسة التفاضلية" و قد آلت سعادتهما إلى ما لانهاية , عندما , طلبهما مع الهندسة الريمانية , العبقري الكبير "ألبرت أينشتاين" ليعملا تحت لواء النسبية العامة ,ليكونا لبنة لبناء في بلورة فكرة إنحناء الزمكان في النسبية العامة " و أيضا كان لهما الدور البارز في البناء الرياضياتي للنظرية العظيمة( العظمة لله) , "ميكانيكا الكم", ( ميكانيكا الكم و ما ادراك ما ميكانيكا الكم , يقول نيلز بور عنها ...من درس ميكانيكا الكم و لم يصعق , فلم يفهمها...)., هذا و التقدم في الأخوان تفاضل و تكامل ما زال قائما , و في كل عصر يدعوا من قبل شركات عملاقة للعمل لديها ,( الفيزياء النظرية _الأقتصاد_الكيمياء....), و مع هذا تقدمها في مجالات العلوم لا ينفكان عن طلب المساعدة من امهم "نهاية" فلا ننسى ان الفضل"بعد الله"لأمهما نهاية" و مع بعض الأحيان يكون تكامل مريضا ( و مرضه انه معتل و لهذا المرض طريقان 1-إما أن يكون عبر حدود التكامل 2- او يكون بسبب الدالة فقد تؤال إلى قيم لانهائية بسبب تعريفها على مجال الدالة المراد مكاملتها _و قد فصلت في هذا لمن يريد مراجعته و هو في مواضيعي) , فيضطر آنذاك ان يستعين بأمه "نهاية" ليستطيع حساب الدالة المكاملة . مع ما تقدم من كلام لعلنا ادركنا أهمية الأخت نهاية , لذا نبدا بالشرح عنها فبسم الله :

و حيث ان فكرة النهاية استوحت من افكار فيزيائية و نبدا بمثل فيزيائي

النهاية فيزيائيا

لنفترض ان عالم فيزيقي , يريد قياس كمية معينة عندما يكون ضغط الهواء مساويا للصفر , و حين انه مستحيل "تكنولوجيا" ان نصل للفراغ التام , فإن الطريق الطبيعي هو قياس هده الكمية عندما يتقارب ضغط الهواء من الصفر , فإدا كانت تلك القياسات تقترب
من قيمة معينة , لتكن L عندما يتقارب ضغط الهواء من الصفر و المتمثل بالكائن x , فإننا نقول إن قيمة القياس عند "الفراغ التام" يساوي L . و نرمز لهدا التعبير الرياضي بالشكل التالي $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=L$
لاحظ ان قيمة الضغط , لم تساوي الصفر و لكن كانت قريبة منه و بالمقابل كانت الــ $f(x)$ , هي الاخرى قريبة من الــ L , لك لم تساويها , "هدا ما كان يقوله(الجملة الاخيرة حول التقارب) الفد الكبير اوجستين كوشي في القرن التاسع عشر " لكي يوضح معنى النهاية .لكن مع دلك لم يكن كافي للبلورة الرياضية لفكرة النهاية , لنرى الرياضي الألماني "كارل فيرشتراس"مادا كان يقول عن النهاية .

مثال رياضي

ليكن لدينا الدالة التالية $f(x)=1/x$ , هب اني اريد ان اعرف قيمة الدالة و عندما يكون x مساويا للصفر . لكن هدا غير ممكن
لأنه أي رقم سيدخل , سيناقض تعريف القسمة , حسنا ما الحل ؟ , لاحظ ان عدم تعريف الدالة عند x تساوي الصفر و يكافئ المثال الفيزيائي السابق , فعدم تعريف الضغط , يشابه عدم تعريف لدالة عندما x=0 لدلك نطبق ما فعلنا في المثال الفيزيائي , و ندرس قيم الدالة $f(x)=1/x$ , عندما تتقارب x من الصفر , لاحظ مع التالي

$f(x)=1/x\Leftrightarrow x=0.1\Rightarrow f(x)=10$
$f(x)=1/x\Leftrightarrow x=0.01\Rightarrow f(x)=100$
$f(x)=1/x\Leftrightarrow x=0.001\Rightarrow f(x)=1000$
و هكدا نرى انه كلما صغرت x كلما كبرت قيمة الدالة بغير حدود , و نلاحظ ايضا انه نستطيع جعل الــ
$f(x)=1/x$
اكبر من اي رقم نريد و دلك بجعل x قريبة من الصفر قربا كافيا , بمعنى آخر أستطيع ان اجعل قيم الدالة
$f(x)=1/x$
اكبر من رقم معين و دلك بجعل x تتغير على نطاق و معين بنصف قطر معلوم . و هدا ما اكد الفد كارل فيرشتراس و من ثم أعطى تعريف النهاية على أساس الــ $\varepsilon -\delta$ و هو التعريف المعتمد عالميا .اوجستين لوي كوشي

ايضا من الامور التي يستعمل فيها فكرة النهاية(Limit) , مسالة إيجاد ميل المماس لمنحنى .

ميل المماس لمنحنى

نعلم انه إدا قطع مستقيم منحنى في نقطتين هما $(a,f(a))$ و $(x,f(x))$ فإن ميل هدا المستقيم هو :

$m(a,x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a$ , لاحظ مع اقتراب x من a فإن المستقيم يصبح قريب من النقطة a , و هكدا حتى يصبح المستقيم مماس لمنحنى الدالة $f(x)$ عند النقطة a , لاحظ $\Leftarrow$

هل تاثر النهاية فيزيائيا على المعادلة التي تؤثر عليها رياضيا إن امكن التأثير ؟
الجواب لا

و إليك المثال التالي
لتكن الدالة $f(t)$ , و هي تصف تغير موقع الجسيم m , فإدا طلب إيجاد متوسط السرعة خلال الفترة الزمنية (t-a) , بالتالي يكون لدينا التعبير الرياضي التالي $u=\frac{f(t)-f(a)}{t-a}$ , لاحظ انه إدا اخدنا النهاية عندما تؤول t إلى a يكون لدينا التالي
$\lim_{t\rightarrow a}\frac{f(t)-f(a)}{t-a}$ , لاحظ ان هدا التعبير يعطي السرعة اللحظية و التعبير السابق يعطي السرعة المتوسطة خلال الفترة الزمنية (t-a) , و في كلا الحالتين النتيجة النائية هي السرعة و و هدا قصدي في عدم التاثير , بتجريد اكثر لا تؤثر النهاية على خارج القسمة , و هده المعلومة مفيدة في الفيزياء.

تقنيات إيجاد النهاية

هناك نوعان من التقنيات , بدائية و متطورة"إن جاز التعبير" , و جميعها تستخدم في إيجاد النهاية المنشود حلها و إليك التالي
أشهر التقنيات البدائية
1-تعريف كوشي فيرشتراس
و ينص على التالي "يقال ان نهاية الدالة $f(x)$ تساوي A و دلك عندما تسعى x إلى a إدا تحقق الشرط التالي $0<\left | x-a \right |<\delta \Rightarrow \left | f(x)-A \right |<\varepsilon$ "
اي كما قال كوشي استطيع ان اجعل الدالة $f(x)$ قريبة جدا من A و دلك باخد x قريبة قربا كافيا , "لاحظ مسالة التحكم في البعد بين الدالة و النهاية التي تسعى إليها"

مثال
اوجد النهاية التالية $\lim_{x\rightarrow 1}x$
الحل : حدسا هي تؤول إلى الوحدة "unit" بالتالي L=1 و الــ $f(x)=x$
يعني $0<\left | x-a \right |<\delta \Rightarrow \left | f(x)-A \right |<\varepsilon \Rightarrow 0<\left | x-1 \right |<\delta \Rightarrow \left | x-1 \right |<\varepsilon$ , فإدا ما اخترنا $\delta \leq \varepsilon$ , اي لأي نصف قطر اريد استطيع ان أجعل الx قريب من الواحد و دلك بجعل الx قريبة من الواحد بنفس القدر السابق او اقل ,

2-نظرية الحصر
و نصها "إدا كانت $h(x)\leq f(x)\leq g(x) \forall x domain (f)$ و كانت $\lim_{x\rightarrow a}h(x)=\lim_{x\rightarrow a}g(x)$ فإن $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}h(x)=\lim_{x\rightarrow a}g(x)=\Psi$ "
و هي دات فوائد كبيرة

مثال :
اوجد النهاية التالية $\lim_{x\rightarrow a}sin(1/x-a)(x-a)$
الحل
$0\leq sin\Phi \leq 1\Rightarrow 0 \leq sin(1/x-a)\leq 1\Rightarrow 0\leq sin(1/x-a)(x-a)\leq (x-a)\Rightarrow 0\leq \lim_{x\rightarrow a} sin(1/x-a)(x-a)\leq \lim_{x\rightarrow a}(x-a)=0\Rightarrow \lim_{x\rightarrow a}sin(1/x-a)(x-a)=0$

التقنيات المتطورة

-1 تغيير المتغير

أثبت ان $\lim_{\Psi \rightarrow 0}(1+(\Psi ))^{1/\Psi } =e$
الحل
$\lim_{\Psi \rightarrow 0}(1+(\Psi ))^{1/\Psi } =e\Rightarrow \Psi =1/\Phi \because \Psi \rightarrow 0\Rightarrow \Phi \rightarrow \infty \Rightarrow \lim_{\Phi \rightarrow \infty }(1+(1/\Phi ))^\Phi =e$

2-قانون الفرنسي فييوم دي لوبيتال

" $f(a)=0 andg(a)=0\Rightarrow \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(a)}{g(a)}=\frac{0}{0}\Rightarrow \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{\frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x}}{\frac{\mathrm{d} g(x)}{\mathrm{d} x}}$ "

مثال : اثبت ان $\lim_{\Psi \rightarrow 0}\frac{sin\Psi }{\Psi }=1$

الحل ${\color{blue} \lim_{\Psi \rightarrow 0}\frac{sin\Psi }{\Psi }=\frac{0}{ 0}\Rightarrow \lim_{\Psi \rightarrow 0}\frac{sin\Psi }{\Psi }=\lim_{\Psi \rightarrow 0}\frac{d(sin(\Psi ))}{d\Psi }=\lim_{\Psi \rightarrow 0}\frac{(cos\Psi )d\Psi }{d\Psi }=1}$

3-اختبار تقارب المتسلسة
هب انني اريد إيجاد نهاية الدالة $f(x)$ و دلك عندما تسعى x إلى ما لا نهاية , فإني اجعلها متتابعة لمتسلسلة و اطبق عليها احد اختبارات المتسلسلات , و لنأخد هنا اختبار النسبة و الدي ينص على ان
" $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}=\Psi$ " و لدينا ثلاث حالات
1- $0\leq \Psi < 1$ بالتالي وجود النهاية
2- $\Psi \geq 1$ الدي يعني عدم وجود النهاية
3- $\lim_{n \rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}=\infty$ الدي يعني التباعد

مثال
اثبت النهاية $\lim_{n \to \infty }\frac{n!}{n^n}$

الحل بتطبيق ما سبق نجد $\lim_{n \to \infty }\frac{n!}{n^n}\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\times \frac{n^n}{n!}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{(n+1)n!}{(n+1)^{n}.(n+1)}\times \frac{n^n}{n!}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n^n}{(n+1)^n}=\frac{1}{e}< 1$ , "حاول ان تفصل البرهان اكثر"
طبعا هناك طرق اخرى و لكن هده اشهرها , اتمنى ان اكون قد وفقت لشرح مفهوم النهاية , الدي هو حجر الأساس لإمبراطورية التفاضل والتكامل . و الحمد لله رب العالمين على ما وفقني إليه

لا تنسوا تباركوا لــ"نهاية"

أدوات الموضوع
مشاهدة صفحة طباعة الموضوع أرسل هذا الموضوع إلى صديق
انواع عرض الموضوع
الانتقال إلى العرض العادي الانتقال إلى العرض المتطور العرض الشجري

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !