سؤال في ميكانيكا الكم

الصادق · #5 19-09-2009, 05:48

المؤثر $\hat{\mathcal{O}}_4$ :
الان بعدما اتضحت الفكرة العامة سوف نكرر نفس الخطوات السابقة

$\\ \hat{\mathcal{O}}_4\left(\alpha \Psi(x) +\beta \Phi(x)\right )= \rm e^{\left(\alpha \Psi(x) +\beta \Phi(x)\right )}=\left( \rm e^{\Psi(x)}\right )^{\alpha}\left( \rm e^{\Phi(x)}\right )^{\beta}\\ \\ \hat{\mathcal{O}}_4\left(\alpha \Psi(x) +\beta \Phi(x)\right )= \left( \hat{\mathcal{O}}_3\Psi(x)\right )^{\alpha}\left( \hat{\mathcal{O}}_3\Phi(x)\right )^{\beta} \neq \alpha \hat{\mathcal{O}}_4\Psi(x) +\beta\hat{\mathcal{O}}_4 \Phi(x)$

اى ان المؤثر $\hat{\mathcal{O}}_4$ غير خطى

اخيراً المؤثر $\hat{\mathcal{O}}_5$

$\\ \hat{\mathcal{O}}_5\left(\alpha \Psi(x) +\beta \Phi(x)\right )=\int dx \left(\alpha \Psi(x) +\beta \Phi(x)\right )x \\ \\ \hat{\mathcal{O}}_5\left(\alpha \Psi(x) +\beta \Phi(x)\right ) =\alpha \int dx \Psi(x)x+\beta \int dx \Phi(x)x \\ \\ \hat{\mathcal{O}}_5\left(\alpha \Psi(x) +\beta \Phi(x)\right ) = \alpha \hat{\mathcal{O}}_5 \Psi(x)+\beta \hat{\mathcal{O}}_5 \Phi(x)$

وهكذا فان المؤثر $\hat{\mathcal{O}}_5$ مؤثر خطى

التبادلية $[\hat{\mathcal{O}}_1, \hat{\mathcal{O}}_2]$ :

لكى نوجد قيمة التبادلية نحتاج ان نوجد تاثيرها على دالة موجية ما و لتكن الدالة ابساى

$[\hat{\mathcal{O}}_1, \hat{\mathcal{O}}_2]\Psi(x)=\hat{\mathcal{O}}_1\hat{\mathcal{O}}_2\Psi(x)- \hat{\mathcal{O}}_2\hat{\mathcal{O}}_1\Psi(x)$

بتعويض الموثرات $\hat{\mathcal{O}}_1$ و $\hat{\mathcal{O}}_2$ من المعادلات (1) و (2) نحصل على

$[\hat{\mathcal{O}}_1, \hat{\mathcal{O}}_2]\Psi(x)=x^2 x \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\psi(x)- x\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}x^2\psi(x)=x^3\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\psi(x)-x\left(x^2\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\psi(x)+2x \Psi(x) \right )$

حيث قمنا فى الحد الثانى بتفاضل حاصل ضرب دالتين. الان بادخال x داخل القوس فى الحد الثانى فى الطرف الايمن من المعادلة الاخيرة
$[\hat{\mathcal{O}}_1, \hat{\mathcal{O}}_2]\Psi(x)=x^3\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\psi(x)-\left(x^3\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\psi(x)+2x^2 \Psi(x) \right )=-2x^2\Psi(x)$

بحذف ابساى من طرفى المعادلة الاخيرة نحصل على ناتج التبادلية

$[\hat{\mathcal{O}}_1, \hat{\mathcal{O}}_2]=-2x^2$

اى ان هذه التبادلية تساوى

$[\hat{\mathcal{O}}_1, \hat{\mathcal{O}}_2]= -2\hat{\mathcal{O}}_1$

التبادلية $[\hat{\mathcal{O}}_2, \hat{\mathcal{O}}_5]$ :

$[\hat{\mathcal{O}}_1, \hat{\mathcal{O}}_2]\Psi(x)=\hat{\mathcal{O}}_1\hat{\mathcal{O}}_2\Psi(x)- \hat{\mathcal{O}}_2\hat{\mathcal{O}}_1\Psi(x)$

بتعويض الموثرات $\hat{\mathcal{O}}_2$ و $\hat{\mathcal{O}}_5$ من المعادلات (2) و (5) نحصل على

$[\hat{\mathcal{O}}_2, \hat{\mathcal{O}}_5]\Psi(x)=x\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\int dx \Psi(x) x-\int dx \left(x\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \Psi(x)\right )x$

باستخدام النظرية الاساسية للتكامل (التكامل هو العملية العكسية للتفاضل) فى الحد الاول فى الطرف الايمن

$[\hat{\mathcal{O}}_2, \hat{\mathcal{O}}_5]\Psi(x)=x^2 \Psi(x)-\int dx x^2\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \Psi(x)$

باجراء تكامل بالتجزئية على الحد الثانى فى الطرف الايمن

$[\hat{\mathcal{O}}_2, \hat{\mathcal{O}}_5]\Psi(x)=x^2 \Psi(x)-\left(x^2 \Psi(x)-2\int dx \Psi(x) x\right)=2\int dx \Psi(x) x$

اى ان تاثير التبادلية على ابساى يتناسب مع تاثير المؤثر $\hat{\mathcal{O}}_5$ انظر المعادلة (5) . ولذلك فان

$[\hat{\mathcal{O}}_2, \hat{\mathcal{O}}_5]\Psi(x)= 2\hat{\mathcal{O}}_5 \Psi(x)$

بحذف ابساى من طرفى المعادلة الاخيرة نحصل على ناتج التبادلية

$[\hat{\mathcal{O}}_2, \hat{\mathcal{O}}_5]= 2\hat{\mathcal{O}}_5$

انتهى

والله اعلم

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !