[mysterious_man]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته:
لنفترض لدينا قطعا ناقصًا طول محوره الأكبر 2a ومحوره الأصغر 2b
والمسافة بين بؤرتيه هي f



===================
سنعرف كمية اسمها e
e= sqrt(a^2-b^2)/a

وهي الاختلاف المركزي أو eccentricity
--------------------------------
وكمية اسمها x
x=(a-b)/(a+b) ... eq1
-------------------------------
مساحة القطع الناقص

A=Pi*a*b

محيط القطع الناقص

هذا المحيط لا يعطى الا بتكامل شاق وليس له اية صيغة مغلقة الا عندما يكون
a=b=r
أي عندما يكون القطع الناقص دائرة

أما التكامل الدقيق الذي يعطي الحل فهو

C = 4a*[ INTEGRAL(from 0..to..2Pi) of: sqrt((1-e^2)*(sin[t])^2) dt]... eq2

ويكن الرمز إليه بـــ

C = 4aE(Pi/2;e) = 4aE(e) .....eq4

حيث (E(Pi/2;e هو complete elliptic integral of the second kind

تقريبات من الأقل دقة إلى الأكثر دقة

التقريب الأول:
C ~ 2 Pi*sqrt((a^2+b^2)/2)..... eq5

التقريب الثاني (أفضل):
C ~ Pi*(sqrt[(a^2+b^2)/2] + [a+b]/2) .... eq6

التقريب الثالث, التقرب الأول لرامانوجان Ramanujan (أفضل):

C ~Pi*(3a + 3b - sqrt[(a+3b)(b+3a)])...... eq7

التقريب الرابع, التقرب الثاني لرامانوجان Ramanujan (أفضل تقريب):

C ~Pi*(a+b)(1 + 3x^2 /[10+sqrt(4-3x^2)] )...... eq8

المراجع:

http://www.mathopenref.com/ellipsearea.html

http://mathforum.org/dr.math/faq/for...umference.html

والله أعلم