العمليات على المجموعات

تغريـد · #1 03-04-2010, 00:39

عملية التقاطع intersection

إذا كان A و B مجموعتين فإن تقاطع هاتين المجموعتين هو مجموعة جديدة تحوي العناصر المشتركة بين A و B.
أي أن عنصر x ينتمي إلى مجموعة التقاطع إذا وفقط إذا كان x ينتمي إلى A وأيضاً x ينتمي إلى B يرمز لها ب
$A\cap B=\{x:x\in A, x\in B \}$

وكما هو الحال في عملية الاتحاد ، يمكن تمثيل عملية التقاطع بأشكال فن Venn diagrams كما يلي

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Ve...ntersect_B.svg

أمثلة
فإذا كانت
$A = \{1,2,3,4\}$
و كانت
$B = \{2,4,6,8\}$
فإن

$A \cap B =\{2,4 \}$

كذلك إذا كانت
$A = \{x:x \textrm{is an even number}, x > 1\} \\ B = \{x:x \textrm{is an odd number}, x > 1\}$

فإن
$A \cap B =\{\}$

لاحظوا معي هنا أهمية وجود المجموعة الخالية فلولاها لأصبحت عملية التقاطع ليست معرفة دائما

و نلاحظ أيضا كيف أن المجموعة الخالية يجب اعتبارها مجموعة جزئية من أي مجموعة
و أن المجموعات الخالية متطابقة مهما كان أصلها
و يؤكد ذلك المثال التالي

$\{1, 2\} \cap \{red, white\} = \varnothing$

أما عن خواص عملية التقاطع يمكننا ملاحظة أنه رغم الخلاف الكبير بين تعريف عملية التقاطع و الاتحاد
إلا ان كلاهما عمليات إبدالية و دامجة
من خواص عملية التقاطع
1- عملية التقاطع عملية إبدالية بمعنى أنه لاي مجموعتين A,B فإن
$A \cap B =B \cap A$
تحقق من ذلك.

2- أن عملية التقاطع عملية تجميعية ( دامجة)، بمعنى أنه لأي ثلاث مجموعات A,B,C فإن

$(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$
تحقق من ذلك.
و عليه كما أوضحنا مسبقا يمكن إجراء عملية التقاطع أكثر من مرة بدون استخدام الأقواس

أي أن $A \cap B \cap C =( A \cap B) \cap C$

تقاطع عدد منتهي أو غير منتهي من المجموعات
و نظرا لأن عملية التقاطع أيضا دامجة يمكن بكل سهولة تعريف عملية التقاطع لأي عدد من المجموعات
فإذا كان لدينا عدد من المجموعات و ليكن $\{A_i : i \in I\}$

فإن مجموعة التقاطع هي المجموعة A التي يمكن الحكم على عنصر ما x أنه ينتمي لها إذا كان هذا العنصر ينتمي لـ $A_{i}$ لكل $\{A_i : i \in I\}$

أمثلة

$\bigcap_{n=1}^{50}(0,n)=(0,1) \\ \bigcap_{a>0}(-\infty ,a)= (-\infty ,0] \\ \bigcap_{n=1}^{\infty }(-\frac{1}{n},\frac{1}{n})=\{0\} \\ \bigcap_{a \in R}[a, \infty )= \varnothing$

يتبـــع

حنــان · #2 03-04-2010, 11:54

بارك الله فيك أخت تغريد على هذا المجهود الرائع،،،

شكرا لكــــ

تغريـد · #3 03-04-2010, 18:06

الفرق بين مجموعتين Difference
إذا كان A و B مجموعتين فإن المجموعة A فرق B تمثل مجموعة جديدة تحوي العناصر التي تنتمي إلى A ولكنها لا تنتمي إلى B.
أي أن عنصر x ينتمي إلى إذا وفقط إذا كان x ينتمي إلى A و لكن x لا ينتمي إلى B
و نرمز لتلك المجموعة بأحد الرمزين التاليين
$A-B, A\setminus B$
و بطريقة الصفة المميزة نكتب
$A\setminus B=\{x: x \in A, x \notin B \}$

و تمثل مجموعة الفرق بأشكال فن كما في الرابط

أمثلة:

$\{1, 2\} \setminus \{red, white\} = \{1, 2\}. \\ \{1, 2, green\} \setminus \{red, white, green\} = \{1, 2\}. \\ \{1, 2\}\setminus \{1, 2\} = \varnothing. \\ \{1, 2, 3, 4\} \setminus \{1, 3\} = \{2, 4\}.$

المجموعة الشاملة
إذا كنا نهتم بدراسة مجموعة ما و بعض مجموعاتها الجزئية فإن المجموعة الكبرى التي تضم كل العناصر قيد الدراسة تسمى المجموعة الشاملة universal set

المجموعة المكملة لمجموعة A
فإذا كانت المجموعة U هي المجموعة الشاملة في دراسة ما , و كانت A هي احدى مجموعاتها الجزئية
فإننا في هذه الحالة نطلق على المجموعة U فرق A مصطلح المجموعة الكملة للمجموعة A
و نرمز لها ب $A ^{c}$ أو ' A
و نعبر عن ذلك بطريقة الصفة المميزة بالقول
$A ^{c} =\{x:x \in U, x \notin A \}$

فمثلا إذا كانت المجموعة U هي مجموعة الأعداد الحقيقية و كانت A هي مجموعة الأعداد النسبية فإن $A^{c}$ هي مجموعة الاعداد غير النسبية

من خواص عملية الفرق و المجموعة المكملة
عملية الفرق ليست ابدالية و لا دامجة لذا يجب الحذر عند التعامل معها
و من الخواص المهمة ما يلي
$A \setminus B \neq B \setminus A. \\ A \cup A^{c} = U.\\ A \cap A^{c} = \varnothing .\\ (A^{c})^{c} = A.\\ A \setminus A = \varnothing \\ U^{c} = \varnothing \\ \varnothing ^{c} = U.\\ A \setminus B = A \cap B^{c}. \\$

تغريـد · #4 03-04-2010, 18:15

من أهم الخواص المتحققة بالنسبة للمجموعات
1- distributive laws خاصية توزيع الاتحاد على التقاطع و توزيع التقاطع على الاتحاد
فإذا كانت A,B,C ثلاث مجموعات فإن
$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A \cap C)\\ A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A \cup C)$

يتبــــع

تغريـد · #5 03-04-2010, 18:18

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة باحثة صغيرة

بارك الله فيك أخت تغريد على هذا المجهود الرائع،،،

شكرا لكــــ

و بارك الله فيك و وفقك أختي الكريمة باحثة صغيرة

أدوات الموضوع
مشاهدة صفحة طباعة الموضوع أرسل هذا الموضوع إلى صديق
انواع عرض الموضوع
الانتقال إلى العرض العادي العرض المتطور الانتقال إلى العرض الشجري

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !