[دلع بنوته]

الدرس الثالث ::

التوافيق ::
الجزء الاول ::

عرفنا ان التباديل هي اختيارات مرتبة يمكن تكوينها من مجموعة من الاشياء مأخزذة كلها او بعضها في كل مرة , وفي بعض الاحيان نحتاج الى اجراء اختيار دون ترتيب كمكا يحصل مثلا عند تشكيل لجنة خماسية من الاعضاء يتم اختيارهم من بين 30 عضو او تكوين مجموعة من 3 عناصر مأخوذة من مجموعة عدد عناصرها 5 عناصر او . . . الخ فهذه الحالات لا يكون الترتيب فيها ذا اهمية


مثال(1)::
بكم طريقة يمكن اختيار 3 كتب من بين خمسة كتب هي :: علوم , رياضيات تكنولوجيا , ادارة ,تاريخ ؟

الحل::
جميع الاختيارات الممكنة هي ::
(علوم , رياضيات , تكنولوجيا ) , (علوم , ادارة ,تاريخ )
(علوم , رياضيات , ادارة ) , (رياضيات , تكنولوجيا , ادارة )
(علوم , رياضيات , تاريخ ) , (رياضيات , ادارة , تاريخ )
(علوم , تكنولوجيا , ادارة ) , ( رياضيات , تكنولوجيا , تاريخ )
(علوم , تكنولوجيا , تاريخ ) , (تكنولوجيا , ادارة , تاريخ )

عدد الاختيارات يساوي 10 , يسمى كل اختيار من هذه الاختيارات توفيقا .
لاحظ ان الترتيب في كل اختيار غير مهم فالاختيار (علوم , رياضيات , تكنولوجيا ) هو نفسة ( رياضيات , علوم , تكنولوجيا) وهو نفسه (تكنولوجيا , رياضيات , علوم ) , . . .

بوجه عام ::
تعريف ::
التوافيق :: هي اختيارات غير مرتبة ( مجموعة جزئية لها عدد العناصر نفسه ) يمكن تكوينها من مجموعة من الاشياء مأخوذة راءً راءً في كل مرة بالرمز
و تقرأ : n فوق r , حيث n , r عددان طبيعيان , r اكبر او تساوي من n

نظرية ::
=
L(n , r ) \ r!


برهان ::
التوافيق هي اختيارات غير مرتبة فاذا ما رتبنا عناصر كل توفيق التى عددها

فانه ينتج لدينا
*r!
من التباديل
اي ان L(n , r ) =
*r!

اذن =
L(n , r ) \ r!

وهو المطلوب


نتيجة (1)::
=
n!\r!*(n-r)!


مثال(1)::
جد قيمة

الحل::
=
ل(7 , 3 ) \3!
7*6*5\3*2*1=35

مثال(2)::
مدرسة فيها 15 معلما , يراد تشكيل لجنة مكونة من 4 معلمين بكم طريقة يتم ذلك ؟

الحل::
عدد طرق تشكيل اللجنة =
=
ل(15 , 4 )\4!=
15*14*13*12\4*3*2*1=1365 طريقة



مثال(3)::
التقى 4 اصدقاء فصافح كل منهم الاخر , كم مصافحة تمت بين الاصدقاء ؟؟

الحل::
عدد المصافحات =
=
ل(4,2)\2! =
4*3\2*1 = 6 مصافحات

اذا رمزنا للاصدقاء الاربعة بالرموز أ , ب , ج , د فان المصافحات بين كل اثنين تمثلها المجموعة الجزئية التالية ::
(أ , ب ) , ( أ , ج ) , ( أ , د) , ( ب , ج ) , ( ب ,د ) , ( ج , د) وهذه 6مجموعات

نتيجة(2)::
=


البرهان ::
الطرف الايمن =
=
ن!\ ر!*(ن- ر)!

الطرف الايسر =

ن!\(ن- ر)!*(ن- (ن – ر )! =
ن!\(ن- ر)!*(ن- ن + ر )! =
ن!\(ن- ر)!* ر!
الطرفان متساويان
وهذه النتيجة تقول ان عدد توافيق ن من العناصر مأخوذة راءً راءً في كل مرة يساوي عدد توافيق ن من العناصر مأخوذة (ن- ر) في كل مرة و هذا واصح لان تكوين مجموعة جزئية من 3 عناصر من بين 10 عناصر مثلا يقابله مباشرة تكوين مجموعة جزئية من 7 عناصر من نفس المجموعة اي ان عدد المجموعات الجزئية الثلاثية لمجموعة مكونة من 10 عناصر مختلفة يساوي عدد المجموعات الجزئية السباعية للمجموعة اي ان ::
=




نتيجة(3)::
اذا كان
=

فان ::
x = y او x + y = n[/b]