مساحة ومحيط القطع الناقص

زَينَب..~ · #1 13-05-2010, 13:57

الصيغة باللاتيكس
لتكون
أوضح
,,السلام عليكم ورحمة الله وبركاته:

لنفترض لدينا قطعا ناقصًا طول محوره الأكبر
$2a$

ومحوره الأصغر
$2b$
والمسافة بين بؤرتيه هي
$f$

===================
سنعرف كمية اسمها

$\200dpi e$

$\200dpi e=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a}}$

وهي الاختلاف المركزي
أو $\200dpi ..eccentricity$
--------------------------------
وكمية اسمها
$\200dpi x$
$\200dpi x=\frac{a-b}{a+b}......{\color{red} Equation(1)}$ -------------------------------

مساحة القطع الناقص

$\200dpi A=\pi \times a\times b$

محيط القطع الناقص

هذا المحيط لا يعطى الا بتكامل شاق وليس له اية صيغة مغلقة الا عندما يكون

$\200dpi a=b=r$

أي عندما يكون القطع الناقص دائرة

أما التكامل الدقيق الذي يعطي الحل فهو

$\200dpi ...C=4a\times \int_{0}^{2\pi } of:\sqrt{((1-e^2)\times (sin(t)))^2}dt.....eq2$

ويكن الرمز إليه بـــ

$\200dpi C= 4aE(\frac{\pi }{2;e}).....eq4$

حيث

$\200dpi E=\frac{\pi }{2;e}...$

هو
complete elliptic integral of the second kind

تقريبات من الأقل دقة إلى الأكثر دقة

التقريب الأول:
$\200dpi C~2 \pi \times \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.....eq5$

التقريب الثاني (أفضل):

$\200dpi C ~ \pi \times \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{a+b}{2}} .... eq6$

التقريب الثالث, التقرب الأول لرامانوجان
Ramanujan (أفضل):

$\200dpi C {\color{green} ~}\pi (3a+3b-\sqrt{(a+3b)(b+3a)}).........eq7$

التقريب الرابع, التقرب الثاني لرامانوجان

$\200dpi Ramanujan$ (أفضل تقريب):

$\200dpi C ~\pi \times (a+b)\frac{1+3x^2}{10\sqrt{4-3x^2}}................eq8$

المراجع:

http://www.mathopenref.com/ellipsearea.html

http://mathforum.org/dr.math/faq/for...umference.html

والله أعلم

شكرالك*_^

:a_plain111:

أدوات الموضوع
مشاهدة صفحة طباعة الموضوع أرسل هذا الموضوع إلى صديق
انواع عرض الموضوع
الانتقال إلى العرض العادي العرض المتطور الانتقال إلى العرض الشجري

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !