[أحمد سعد الدين]

اثبات (17)

[أحمد سعد الدين]

اثبات (18)

[أحمد سعد الدين]

اثبات (19)

[أحمد سعد الدين]

اثبات (20)

[أحمد سعد الدين]

اثبات (21) ، (22) ، (23)

[أحمد سعد الدين]

اثبات (24) ، (25) ، (26)

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ امام مسلم

ومرفق حلى للتمرين



##########

[أحمد سعد الدين]

#######

[أحمد سعد الدين]

دراسة حالة تطابق مثلثين
بمعلومية
ضلعان وزاوية غير محصورة

من المعلوم لتطابق مثلثين - أو إنشاء مثلث محدد وحيد - يلزم معلومية عناصر أحد الشروط التالية :

1 - أطوال الأضلاع الثلاث (SSS)
2 - زاويتين وضلع محصور بينهما (ASA)
3 - ضلعين وزاوية محصورة بينهما (SAS)
وفى حالة المثلث القائم الزاوية :
طول الوتر وأحد الأضلاع فقط - وهى حالة خاصة

وتوجد حالة رابعة بحثها الرياضيون - بمعلومية زاوية وضلعين غير محصورين للزاوية SSA - وأسموها الحالة الغامضة ambiguous case ، وهى الحالة المطلوب تداولها بالنقاش

وهذه الحالة لا تعطى فى جميع الأحوال مثلث وحيد يمكن تحديده دائما - وبالتالى عدم تطابق المثلثين فى جميع الأحوال

وتعتمد هذه الحالة على نوع الزاوية المعلومة ، ونسبة طولى الضلعين المعلومين بالنسبة لبعضهما

ويعتمد الحل فى إيجاد المثلث على قانون الجيب للمثلث كحل وحيد

وسنستخدم القانون : جاأ = (ب ج/أ ج). جاب

أولا : فى حالة أن الزاوية المعلومة " حادة " أصغر من 90 درجة ، وتتضمن 5 حالات :

1 - الضلع المقابل للزاوية المعلومة أقصر كثيرا من الضلع المجاور :
أ ج < ب ج
بحيث (ب ج/أ ج). جاب > 1
وفى هذه الحالة لا يمكن إنشاء المثلث لأنه لا توجد زاوية جيبها > 1
وبالتالى عدم تطابقه مع المثلث الآخر بنفس عناصره المعلومة - انظر الشكل عاليه

2 - الضلع المقابل للزاوية المعلومة أقصر من الضلع المجاور :
أ ج < ب ج
بحيث (ب ج/أ ج). جاب = 1
وفى هذه الحالة تكون زاوية أ = 90 درجة
ويمكن إنشاء مثلث وحيد ، وبالتالى يتطابق مع المثلث الآخر بنفس عناصره - انظر الشكل عاليه

3 - الضلع المقابل للزاوية المعلومة أقصر من الضلع المجاور :
أ ج < ب ج
بحيث (ب ج/أ ج). جاب < 1
وفى هذه الحالة تكون زاوية أ لها قيمتين : أ ، (180 - أ)
ويوجد مثلثين وليس مثلثا وحيدا ، فالتطابق لا يتم - انظر الشكل عاليه

4 - الضلع المقابل للزاوية المعلومة يساوى الضلع المجاور :
أ ج = ب ج
فيكون المثلث وحيد ومتساوى الساقين ، ويتم التطابق مع المثلث الآخر - انظر الشكل عاليه

5 - الضلع المقابل للزاوية المعلومة أكبر من الضلع المجاور :
أ ج > ب ج
وتكون (ب ج/أ ج). جاب < 1
ويمكن إنشاء مثلث وحيد ، وبالتالى يتطابق مع المثلث الآخر - انظر الشكل عاليه

ثانيا : فى حالة الزاوية المعلومة "منفرجة" أكبر من 90 درجة ، وتتضمن 3 حالات

1 - الضلع المقابل للزاوية المعلومة أقصر من الضلع المجاور :
أ ج < ب ج
وتكون (جا^-1 ((ب ج/أ ج). جاب ) + زاوية ب) > 180 درجة
فلا يمكن إنشاء المثلث

2 - الضلع المقابل للزاوية المعلومة يساوى الضلع المجاور :
أ ج = ب ج
وتكون (جا^-1 ((ب ج/أ ج). جاب ) + زاوية ب) = 180 درجة
فلا يمكن إنشاؤه

3 - الضلع المقابل للزاوية المعلومة أكبر من الضلع المجاور :
أ ج > ب ج
ويمكن إنشاء المثلث كحالة وحيدة وبالتالى يتطابق مع المثلث الآخر - أنظر الشكل عاليه

[أحمد سعد الدين]

اثبات أن الوسط الحسابى أكبر من الوسط الهندسى لعددين

اشترط علماء الرياضيات عند مقارنة الوسط الحسابى والوسط الهندسى بالمتباينة

الوسط الحسابى > أو = الوسط الهندسى

أن تكون الأعداد موجبة

فمثلا :

الوسط الحسابى للعددين - 2 ، - 8 هو ( -2 -8)/2 = -5
الوسط الهندسى = جذر(-2*-8) = جذر16 = +4 أو -4

وعلى ذلك فالوسط الحسابى ليس أكبر من الوسط الهندسى بأحد قيمتيه سواء الموجبة أو السالبة

وبالتالى لا تصلح المتباينة للأعداد السالبة

وقاموا باستنتاج تلك العلاقة بالمتباينة

بطريقتين باستخدام نظرية فيثاغورث :