what about AM-GM ? - الصفحة 3

مهند الزهراني · #1 11-08-2010, 15:05

السلام عليكم ...

نحاول من خلال هذا الموضوع البدأ بسلسلة جديدة متعلقة برياضيات الاولمبياد من افكار وقوانين وطرق حل جميلة ....

نبدأ بموضوع الح الكثيرون علي بشرحه وهي متباينة الوسطين الحسابي والهندسي المعممة وطبعا ترأس المطالبين والملحين الاخت بيان

قلت اخرها خلاص بنزل الموضوع بس سيبوني :laughter01:

بداية سندرس الحالة الخاصة للمتباينة لمتغيرين ونتمرن عليها ومن ثم نعمم الى n عددا ...

بنهاية كل شرح راح احط تمارين وارجو رجاء شديدا ان المتمكن من الموضوع والاساتذة الموجودين هنا ان يكتفوا بالمشاهدة لأن الموضوع مخصص للمبتدئين في المتباينات وهو موضوع لا تعالجه مناهجنا للأسف ...

....................................

لنعرف الوسط الحسابي ( Arithmatic mean ) لعددين موجبين بالصورة التالية :

$\150dpi AM=\frac{a_1+a_2}{2}$

وكذلك لنعرف الوسط الهندسي ( Geometric mean ) لعددين موجبين بالصورة التالية :

$\150dpi GM=\sqrt{a_1.a_2}$

بكل بساطة تربط بين هذين الوسطين علاقة تباين تدعى اختصارا بـ AM-GM وهي كالتالي :

$\150dpi \frac{a_1+a_2}{2}\geq \sqrt{a_1.a_2}$

ويحدث التساوي عندما تتساوى المتغيرات ، وهنا اشدد على كون الاعداد موجبة لانه شرط لتطبيق المتباينة ...

تعالوا الآن لنرى كيفية اثبات المتباينة السابقة ...

$\150dpi \frac{a_1+a_2}{2}\geq \sqrt{a_1.a_2}\Leftrightarrow a_1+a_2\geq 2\sqrt{a_1.a_2}\Leftrightarrow a_1-2\sqrt{a_1.a_2}+a_2\geq 0$

الان لنلاحظ أن ما وصلنا اليه هو عبارة عن متطابقة مربع كامل اذا يكافئ

$\150dpi a_1-2\sqrt{a_1.a_2}+a_2\geq 0\Leftrightarrow \left (\sqrt{a_1}-\sqrt{a_2} \right )^2\geq 0$

وهي صحيحة دائما لأن أي مربع كامل ضمن الاعداد الحقيقية موجب دائما ...

تعالوا لنأخذ أمثلة على متباينتنا الجميلة ...

مثال (1)

اذا علمت أن x,y اعداد موجبة واكبر من الصفر فأثبت أن

$\150dpi \frac{y}{x}+\frac{x}{y}\geq 2$

الحل :-

تعالوا لنطبق المتباينة السابقة مباشرة وسنرى ماذا سينتج

$\150dpi \frac{y}{x}+\frac{x}{y}\geq 2.\sqrt{\frac{y}{x}.\frac{x}{y}}=2$

كما ترون انها مباشرة وسهلة وجميلة ولنحاول ان نعتاد على المتباينة بالصورة السابقة فبدلا من ان نكتب بكل مرة ان 2 بالمقام ومن ثم نضرب الطرفين ب2 بدلا من ذلك نستعمل الصورة السابقة ...

مثال(2)

لتكن x,y اعداد موجبة فأثبت أن

$\150dpi \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\geq \frac{2}{xy}$
الحل:-

كذلك نطبق المتباينة مباشرة هنا

$\150dpi \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\geq 2.\sqrt{\frac{1}{x^2}.\frac{1}{y^2}}=\frac{2}{xy}$

الان سنعرض تمارين بسيطة وافكارها سهلة نسبيا ، حاول ان تطبق المتباينة اكثر من مرة ومن ثم تجمع او تضرب حسب المتباينة بالسؤال ، ممكن تحط 15 مقدار وتحط واحد منهم بقوس والباقي بقوس فتصير كأنهم عددين فقط لتطبق ما درسته ...

باذن الله سننتظر منكم حلول التمارين وساضع الحلول بنفسي ان لم يتقدم احد للحل غدا باذن الله ...

وممكن نعطي ارشاد بسيط لحل التمرين لمن استعصى عليه الحل ...

وآخر شي نتمنى منكم دعوة بظهر الغيب بالهداية في هذا الشهر الكريم ...

التمارين :-

الاعداد في كافة التمارين التالية اعداد موجبة والمطلوب اثبات هذه المتباينات

$\150dpi (1) \ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}$

$\150dpi (2) \ x^2+y^2+z^2\geq x\sqrt{y^2+z^2}+y\sqrt{x^2+z^2}$

$\150dpi (3) \ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$

$\150dpi (4) \ \left ( x+y \right )\left ( y+z\right )\left ( x+z\right )\geq 8xyz$

ملاحظات :-

1- ياليت الحل يكتب باللاتيكس او بخط اليد

2- في البداية سيكون الطريق صعبا ومن ثم راح تصير المتباينات اسهل شي عندكم وهذا عن تجربة شخصية ...

والله الموفق ...

أدوات الموضوع
مشاهدة صفحة طباعة الموضوع أرسل هذا الموضوع إلى صديق
انواع عرض الموضوع
الانتقال إلى العرض العادي الانتقال إلى العرض المتطور العرض الشجري

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !