تحتاج تفكير ... - الصفحة 2

نورة الشريف · #1 03-10-2010, 00:44

وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته أخي .. والله ما فهمت سؤالك .. يعني ايش نستفيد اذا استنتجنا قيمة حاصل الضرب abcd في مقام المتباينة ؟
ع العموم راح أحط الحل بالتفصيل ..
الطرف الأيسر = $\120dpi \frac{(a^2+a+1)}{a}.\frac{(b^2+b+1)}{b}.\frac{(c^2 +c+1)}{c}.\frac{(d^2+d+1)}{d}$

نأخذ الكسر الأول : $\120dpi \frac{(a^2+a+1)}{a}=a+\frac{1}{a}+1$

وهكذا بالبقية ..

طالما أن الحد الأول على الصورة $\120dpi a+\frac{1}{a}+1$
فنحن بحاجة الى أصغر قيمة ممكنة لــ $\120dpi a+\frac{1}{a}$ أصغر قيمة يمكن أن أجدها اذا حققت المتباينة المساواة مع احد الأعداد ..
أطبق عليها متباينة Am -Gm ..
$\120dpi a+\frac{1}{a} \geq 2\sqrt{a.\frac{1}{a}}=2$
أصغر قيمة ممكن أن يأخذها هي 2 ..
لذلك أعوض عن كل حد بـ 2 +1 = 3 .. وذلك لأحصل على أصغر قيمة .. في حالة كانت أصغر قيمة = 81 اذن فالاثبات صحيح
..
لو عوضنا بـ 3 .. تصبح 3.3.3.3 =81 ..
اذن الاثبات صحيح ..

..

زولديك · #2 03-10-2010, 20:46

مدري وش فيك معصبة , على العموم سؤال بس مشان الفائدة , بس مهند وينه يا جماعة , اختفى

نورة الشريف · #3 03-10-2010, 23:01

لا والله لا معصبة ولا شي .. اي أخوي مهند مختفي من زماان ..

زولديك · #4 03-10-2010, 23:18

طيب , نورة حلي صحيح ولا لأ

نورة الشريف · #5 03-10-2010, 23:50

والله يا أخي انا لا أستطيع الحكم على حلك لأن هذه مسؤلية أخي مهند فلا يحق لي أن أحل محله .. مالك غير ان تنتظره ..

زولديك · #6 04-10-2010, 00:32

بسلموا على الدوق الرفيع

مهند الزهراني · #7 04-10-2010, 15:14

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته ...

بداية كل الحلول التي طرحت صحيحة ، وهناك طريقتين اخريين لم يتم التطرق لها وساعرضها بالرد التالي ...

مهند الزهراني · #8 04-10-2010, 15:23

اخواني الكرام هذه الفكرة الاولى البسيطة ويمكننا الانتقال بنفس الطريقة لكل مجهول

$\150dpi (a-1)^2\geq 0\Leftrightarrow a^2+1\geq 2a\Leftrightarrow a^2+a+1\geq 3a$
$\150dpi (b-1)^2\geq 0\Leftrightarrow b^2+1\geq 2b\Leftrightarrow b^2+b+1\geq 3b$
$\150dpi (c-1)^2\geq 0\Leftrightarrow c^2+1\geq 2c\Leftrightarrow c^2+c+1\geq 3c$
$\150dpi (d-1)^2\geq 0\Leftrightarrow d^2+1\geq 2d\Leftrightarrow d^2+d+1\geq 3d$

بضرب المتباينات الاربعة السابقة ببعضها

$\150dpi (a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)(d^2+d+1)\geq 81abcd$

وهي مكافئة للمتباينة السابقة ..

،،،

من ناحية اخرى يمكن الحصول على نفس المتباينات السابقة كالتالي من متباينة تدعى متباينة الوسطين AM-GM

$\150dpi a_1,a_2,...,a_n\in \mathbb{R}^+\Rightarrow \frac{\sum_{k=1}^{n}a_k}{n}\geq \left ( \prod_{k=1}^{n}a_k \right )^{\frac{1}{n}}$

وما كنت أقصده في البداية هو الفكرة الاولى ،،

موفقين ...

زولديك · #9 04-10-2010, 23:33

اجل , قضينا

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !