مسائل دالة بيتا - الصفحة 2

زولديك · #1 19-11-2010, 15:44

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة اسومي

قيم الجاما ثلث وربع وغيرها تجدها في الجداول في نهايات كتب الرياضيات الفيزياوية او يمكن استخراجها مباشرة من الحاسبة العلمية

انا راح اطلع التكاملات بدلالة جاما إن شاء الله و الباقي عليك لني ما عندي حاسبة علمية او جداول فيزيائية

التكامل الاول

${\color{blue} \int_{0}^{5}x^{\frac{-1}{3}}.(5-x)^{\frac{16}{3}}dx}$

بالتعويض عن x بـــــ5s نجد ان
${\color{red} x=5s\Rightarrow dx=5ds}({\color{blue} and)x=0\Rightarrow s=0(and)x=5\Rightarrow s=1}$

ليؤول التكامل إلى الصيغة

${\color{blue} \int_{0}^{1}(5S)^{\frac{-1}{3}}(5-5S)^{\frac{16}{3}}dS=(5^{\frac{-1}{3}}.5^{\frac{16}{3}})\int_{0}^{1}S^{\frac{2}{3}-1}(1-S)^{\frac{19}{3}-1}dS=5^{\frac{15}{3}}\beta (\frac{2}{3},\frac{19}{3})=5^{\frac{15}{3}}\frac{\Gamma (\frac{2}{3})\Gamma (\frac{19}{3})}{\Gamma \frac{21}{3}}}$

التكامل الثاني

${\color{blue} \int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{4}}dx\because x=s^{\frac{1}{4}}\Rightarrow dx=\frac{1}{4}s^{\frac{1}{4}-1}({\color{red} and)}x^{4}=s}$

ليصبح التكامل على الصيغة

${\color{blue} \int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{4}}dx}\Rightarrow {\color{red} \frac{1}{4}\int_{0}^{1}s^{\frac{1}{4}-1}(1-s)^{\frac{3}{2}-1}ds=\frac{1}{4}}{\color{blue} \beta (\frac{1}{4},\frac{3}{2})=\frac{1}{4}}\frac{\Gamma (\frac{1}{4})\Gamma (\frac{3}{2})}{\Gamma (\frac{1}{4}+\frac{3}{2})}$

التكامل الثالث

واضح انه بإستخدام فك الكسور نجد ان التكامل معتل و يسعى إلى مالانهاية .

${\color{blue} \int_{1}^{3}\frac{dx}{(x-1).(3-x)}}={\color{red} \frac{1}{2}\int_{1}^{3}\frac{dx}{(x-1)}+\frac{1}{2} \int_{1}^{3}\frac{dx}{(3-x)}}$

لنجد التكامل الأول

${\color{red} \frac{1}{2}\int_{1}^{3}\frac{dx}{(1x-1)}}{\color{blue} =\frac{1}{2}\lim_{\varepsilon \rightarrow 0+}\int_{1+\varepsilon }^{3}\frac{dx}{(x-1)}=\frac{1}{2}\lim_{\varepsilon \rightarrow 0+}[ln(2)-ln(\varepsilon )]}{\color{red} \rightarrow \infty }$

و الثاني على نفس المنوال

${\color{red} \frac{1}{2}\int_{1}^{3}\frac{dx}{(3-x)}}{\color{blue} =\frac{1}{2}\lim_{\varepsilon \rightarrow 0+}\int_{1+\varepsilon }^{3}\frac{dx}{(3-x)}=\frac{1}{2}\lim_{\varepsilon \rightarrow 0+}[ln(\varepsilon )-ln(2 )]}{\color{red} }{\color{red} \rightarrow \infty}$

التكامل الرابع

${\color{blue} \int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{3}}}=\frac{1}{3}\int_{0}^{1}s^{\frac{1}{3}-1}(1-s)^{\frac{1}{2}-1}ds=\frac{1}{3}\beta (\frac{1}{3},\frac{1}{2})=\frac{1}{3}\frac{\Gamma (\frac{1}{3})\Gamma (\frac{1}{2})}{\Gamma (\frac{1}{3}+\frac{1}{2})}}$

التكامل الخامس

${\color{red} \int_{-1}^{+1}(1+x)^{\frac{7}{2}}.(1-x)^{\frac{9}{2}}dx}$

و بإفتراض ان

$x=s-1\Rightarrow x=-1\Leftrightarrow s=0(and)x=+1\Leftrightarrow s=2\Rightarrow {\color{red} \int_{0}^{2}(1+s-1)^{\frac{7}{2}}.(1-s+1)^{\frac{9}{2}}ds}{\color{blue} ={\color{red} \int_{0}^{2}(s)^{\frac{7}{2}}.(2-s)^{\frac{9}{2}}dx}}$

من جديد نفرض ان s=2z لينتج لدينا

${\color{blue} s=2z\therefore s=0\Leftrightarrow z=0(and)s=2\Leftrightarrow z=1}\because s=2z\Rightarrow ds=2dz$

و منه يصبح التكامل على الصيغة

${\color{blue} 2\int_{0}^{1}(2z)^{\frac{7}{2}}(2-2z)^{\frac{9}{2}}dz=2.2^{\frac{7}{2}}.2^{\frac{9}{2}}\int_{0}^{1}z^{\frac{9}{2}-1}(1-z)^{\frac{11}{2}-1}dz=2^{9}\beta (\frac{9}{2},\frac{11}{2})=2^{9}\frac{\Gamma (\frac{9}{2})\Gamma (\frac{11}{2})}{\Gamma (\frac{9}{2}+\frac{11}{2})}}$

التكامل السادس "اممم امهلني شوي"

و التكامل الاخير موجود في الاعلى

اسومي · #2 20-11-2010, 07:37

بالتعويض عن x بـــــ5s نجد ان
${\color{red} x=5s\Rightarrow dx=5ds}({\color{blue} and)x=0\Rightarrow s=0(and)x=5\Rightarrow s=1}$ [/CENTER] ليؤول التكامل إلى الصيغة

${\color{blue} \int_{0}^{1}(5S)^{\frac{-1}{3}}(5-5S)^{\frac{16}{3}}dS=(5^{\frac{-1}{3}}.5^{\frac{16}{3}})\int_{0}^{1}S^{\frac{2}{3}-1}(1-S)^{\frac{19}{3}-1}dS=5^{\frac{15}{3}}\beta (\frac{2}{3},\frac{19}{3})=5^{\frac{15}{3}}\frac{\Gamma (\frac{2}{3})\Gamma (\frac{19}{3})}{\Gamma \frac{21}{3}}}$

التكامل 1 لم تعوض عن dx ب خمسة دي اس بل اكتفيت ب دي اس فقط
اما التكامل السابع فهو يحل بصيغة من صيغ دالة بيتا
مع الشكر والتقدير

زولديك · #3 20-11-2010, 12:50

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة اسومي

التكامل 1 لم تعوض عن dx ب خمسة دي اس بل اكتفيت ب دي اس فقط
اما التكامل السابع فهو يحل بصيغة من صيغ دالة بيتا
مع الشكر والتقدير

كويس انتبهت , طيب بدك احلو بصيغة بيتا

اسومي · #4 19-11-2010, 13:04

في المرفقات ملف يفيدك

مرجانه · #5 19-11-2010, 15:40

زولديك

اي فقره حليت

زولديك · #6 19-11-2010, 15:45

مرجانة اكيد الدالة هي tan

مرجانه · #7 19-11-2010, 16:00

مرحبا

زولديك انت حال التكامل الاخير ع اساس ان البسط y
بس قي السؤال y تربيع

ما شاء الله عليك اعتمدت في حلك ع العلاقة الخاصة بين بيتا وجاما

وبالنسبة للنواتج الاخيره سهل انك تستنتجها

يعني مثلا جاما 8 = مضروب الـ، 7
وجاما ( 8+3) = مضروب العشره

عذرا ع اللقافه

اقصد فيها نفسي ( انا )
داخله عرض بينكم

زولديك · #8 19-11-2010, 16:09

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مرجانه

مرحبا

زولديك انت حال التكامل الاخير ع اساس ان البسط y
بس قي السؤال y تربيع

أوجد تكامل

${\color{blue} \int \frac{y^{2}dy}{(1+y)^{2}}}$

الحل

$y=s-1\Rightarrow ds=dy\Rightarrow \int \frac{(s-1)^{2}=s^{2}-2s+1}{(s)^{2}}ds=\int ds-2\int \frac{1}{s}ds+\int \frac{1}{s^{2}}ds=s-2ln(s)-s^{-1}+C=(y+1)-2ln(y+1)-(y+1)^{-1}+C$

اسومي · #9 20-11-2010, 07:03

انا لا أعرف كيف اشكرك حقاً بارك الله فيك وبجهودك .
اما دالة التكامل السادس فهي
tan ثيتا دي ثيتا

زولديك · #10 21-11-2010, 21:46

التكامل الاخير غير محدود كيف نحلو بطريقة بيتا

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !