" المسابقة الرياضية الكبرى " - الصفحة 19

نورة الشريف · #1 27-08-2010, 05:39

أعجبني حلك كثيرا أخي ابراهيم وأعتقد انك على صواب .. بارك الله فيك ..

نورة الشريف · #2 13-09-2010, 10:10

ما بآآل مسابقتنآ الجميلة توقفت ..؟

مهند الزهراني · #3 13-09-2010, 10:19

اهلا ، نسيت المسابقة تماما ، يعطيك العافية اخت نورة على التذكير ..

اخي ابراهيم حلولك صحيحة والاخت نورة كذلك ،،

نعود مع نوعية من المسائل اقول عنها انها " حبيبتي "

السؤال بسيط جدا ولكن للتنشيط ،،

اذا علمت أن $\150dpi abc=1$ فأثبت أن

$\150dpi \frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq \frac{3}{2}$

Weierstrass-Casorati · #4 13-09-2010, 19:34

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مهند الزهراني

اذا علمت أن $\150dpi abc=1$ فأثبت أن

$\150dpi \frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq \frac{3}{2}$

مر على أنا كمان وقريب جدا لكن ما أذكر فين
واللي حله استخدم متباينة الوسط الهندسي-الوسط التوافقي
لكن هذا حلي بمتباينة اعادة الترتيب وأظنه أسهل
باستخدام التعويضات
$\\ x=\frac{1}{a},\; y=\frac{1}{b},\;z=\frac{1}{c}\\ \\ S=\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\\ \\ =\frac{x^3}{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}+\frac{y^3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{z}}+\frac{z^3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}\\ \\ =\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\\ \\ \\$

بدون فقد للعمومية نفرض أن
$\\ a\geq b\geq c\\ \Rightarrow z\geq y\geq x \\ \Rightarrow z+y\geq z+x\geq y+x\\ \Rightarrow \frac{z}{x+y}\geq \frac{y}{z+x}\geq\frac{x}{z+y}$

بتطبيق متباينة إعادة الترتيب على التتابع $\left (\frac{x}{x+y}, \frac{y}{z+x},\frac{z}{z+y} \right )$ و $(x,y,z)$
باعتبار التبديلة $(y,z,x)$ و $(z,x,y)$

$\\ S=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{z+y}\geq \frac{xy}{z+y}+\frac{yz}{z+x}+\frac{zx}{x+y}\\ \\ S=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{z+y}\geq \frac{xz}{z+y}+\frac{yx}{z+x}+\frac{zy}{x+y}\\$

بالجمع
$\\ 2S\geq \frac{x(z+y)}{z+y}+\frac{y(z+x)}{z+x}+\frac{z(x+y)}{x+y}=x+y+z\\$

ومن $AM-GM$
$\\2S \geq 3\sqrt[3]{xyz}=3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=3\\ \therefore S\geq \frac{3}{2}$

وهو المطلوب

صحيح مهند ناوي تكمل المسابقة هذه في الدراسة وإلا لا ؟
والله مرت الأجازة بسرعة صاروخية

وبالمناسبة السؤال لأهل العلم "أهل الأحساء" شو جمع تنحيزة، دلع بنوتة، يعني تنجمع جمع سالم وإلا تكسير؟

وأختي نورة مبروك عليك المتباينة الجميلة

مهند الزهراني · #5 13-09-2010, 20:21

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة Weierstrass-Casorati

مر على أنا كمان وقريب جدا لكن ما أذكر فين
واللي حله استخدم متباينة الوسط الهندسي-الوسط التوافقي
لكن هذا حلي بمتباينة اعادة الترتيب وأظنه أسهل
باستخدام التعويضات
$\\ x=\frac{1}{a},\; y=\frac{1}{b},\;z=\frac{1}{c}\\ \\ S=\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\\ \\ =\frac{x^3}{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}+\frac{y^3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{z}}+\frac{z^3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}\\ \\ =\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\\ \\ \\$

بدون فقد للعمومية نفرض أن
$\\ a\geq b\geq c\\ \Rightarrow z\geq y\geq x \\ \Rightarrow z+y\geq z+x\geq y+x\\ \Rightarrow \frac{z}{x+y}\geq \frac{y}{z+x}\geq\frac{x}{z+y}$

بتطبيق متباينة إعادة الترتيب على التتابع $\left (\frac{x}{x+y}, \frac{y}{z+x},\frac{z}{z+y} \right )$ و $(x,y,z)$
باعتبار التبديلة $(y,z,x)$ و $(z,x,y)$

$\\ S=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{z+y}\geq \frac{xy}{z+y}+\frac{yz}{z+x}+\frac{zx}{x+y}\\ \\ S=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{z+y}\geq \frac{xz}{z+y}+\frac{yx}{z+x}+\frac{zy}{x+y}\\$

بالجمع
$\\ 2S\geq \frac{x(z+y)}{z+y}+\frac{y(z+x)}{z+x}+\frac{z(x+y)}{x+y}=x+y+z\\$

ومن $AM-GM$
$\\2S \geq 3\sqrt[3]{xyz}=3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=3\\ \therefore S\geq \frac{3}{2}$

وهو المطلوب

صحيح مهند ناوي تكمل المسابقة هذه في الدراسة وإلا لا ؟
والله مرت الأجازة بسرعة صاروخية

وبالمناسبة السؤال لأهل العلم "أهل الأحساء" شو جمع تنحيزة، دلع بنوتة، يعني تنجمع جمع سالم وإلا تكسير؟

وأختي نورة مبروك عليك المتباينة الجميلة

حل جميل :a_plain111:

لكن الاحظ عشقك للحلول الطويلة ولا ادري لماذا

طيب شوف هذا الحل ، اول نطبق تمهيدية تيتو ومن ثم متباينة الوسطين

$\150dpi LHS\geq \frac{ \left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )^2 }{2\left ( ab+bc+ca \right )}=\frac{\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )^2}{2\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )}$

$\150dpi \frac{\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}}{2}=\frac{3}{2}$

:a_plain111: :a_plain111: :a_plain111:

Weierstrass-Casorati · #6 13-09-2010, 22:36

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مهند الزهراني

حل جميل :a_plain111:

لكن الاحظ عشقك للحلول الطويلة ولا ادري لماذا

طيب شوف هذا الحل ، اول نطبق تمهيدية تيتو ومن ثم متباينة الوسطين

$\150dpi LHS\geq \frac{ \left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )^2 }{2\left ( ab+bc+ca \right )}=\frac{\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )^2}{2\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )}$

$\150dpi \frac{\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}}{2}=\frac{3}{2}$

:a_plain111: :a_plain111: :a_plain111:

يبدو إن عندي مشاكل في النظر فما أشوف الحلول القصيرة بسهولة

لا والله اتعقدت

لكن حلك خطييير ما شاء الله :s_thumbup:

مهند الزهراني · #7 13-09-2010, 10:27

ليكن $\150dpi n\geq 5,n\in \mathbb{Z}^+$

فأثبت أن الفترة المغلقة $\150dpi \left [ n!,(n+1)! \right ]$ تحوي مضاعف للعدد $\150dpi n^3$

نورة الشريف · #8 13-09-2010, 10:50

يآآلبى الرياضيات بس ,, أخيراً حطيت أسئلة ,, للأسف السؤال الأول مر علي .. والثاني مر علي مقارب له .. عالعموم .. مشكور أخي مهند ..

مهند الزهراني · #9 13-09-2010, 11:03

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة نورة الشريف

يآآلبى الرياضيات بس ,, أخيراً حطيت أسئلة ,, للأسف السؤال الأول مر علي .. والثاني مر علي مقارب له .. عالعموم .. مشكور أخي مهند ..

طيب هذا سؤال خصيصا لك ( ابراهيم ممنوع تحط حله أبدا

)

لتكن $\150dpi a,b,c$ أعداد حقيقة ليست بالضرورة أن تكون موجبة و n عدد زوجي فأثبت أن

$\150dpi a^n+b^n+c^n\geq a^{n-1}b+b^{n-1}c+c^{n-1}a$

ملاحظة : لا يوجد هنت ولا " تنحيزة " على قولة اهل الشرقية << ما يقصد أحد

نورة الشريف · #10 13-09-2010, 11:11

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مهند الزهراني

طيب هذا سؤال خصيصا لك ( ابراهيم ممنوع تحط حله أبدا

)

لتكن $\150dpi a,b,c$ أعداد حقيقة ليست بالضرورة أن تكون موجبة و n عدد زوجي فأثبت أن

$\150dpi a^n+b^n+c^n\geq a^{n-1}b+b^{n-1}c+c^{n-1}a$

ملاحظة : لا يوجد هنت ولا " تنحيزة " على قولة اهل الشرقية << ما يقصد أحد

يممممه

ويينك ابراهيم سااعدني :mommy_cut:

.....

ابششششر .. يكون الحل قريباً

"" تنحيزة "":emot30_astonishe:

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !